零空間のソースを表示

{{出典の明記|date=2023-05}}
[[数学]]、特に[[関数解析学]]において、[[線型写像|線型作用素]] ''A'': ''V'' → ''W'' の'''零空間'''（ゼロくうかん、れいくうかん、{{lang-en-short|null space}}）あるいは'''核空間'''（かくくうかん、{{lang-en-short|kernel space}}）とは、
:<math>\operatorname{Ker}(A):=\{ \boldsymbol{x} \in V; A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \}</math>
のことである。Ker(''A'') は ''N''(''A'') や Nul(''A'') などとも書かれる。特に Ker は零空間が[[線型写像]]としての ''A'' の[[核 (代数学)|核]] ({{lang-en-short|kernel}}) に当たることを意味するのであるが、零空間という語を用いる文脈においては、核という言葉を[[熱核]] ({{en|heat kernel}}) などの積分核に対して用いていることがほとんどであろうから注意されたい。

また、零空間という語をもちいる文脈においては、線型写像の像 ({{en|image}}) は値域 ({{en|range}}) と呼ばれ、線型作用素 ''A'' の値域は Ran(''A'') や ''R''(''A'') と綴るのが通例のようである。

零空間は、[[ベクトル空間]] ''V'' の[[部分線型空間|部分空間]]である。さらに、 [[商空間_(線型代数)|商空間]] ''V''/(Ker ''A'') は、 ''A'' の像 <math>R(A):=\{ \boldsymbol{y} \in W;\ \exists\ \boldsymbol{x} \in V \text{ s.t. } \boldsymbol{y}=A\boldsymbol{x} \}</math> に同型である；特に[[次元 (ベクトル空間)|次元]]について
:<math>\dim \operatorname{Ker}(A)=\dim V-\dim R(A)</math>
が成り立つ。

Ker ''A'' = {'''0'''} であることと、線型写像 ''A'' が[[単射]]であることとは同値である。

もし、''V'' と ''W'' が[[次元_(線型代数学)|有限次元]]であり、[[基底 (線型代数学)|基底]]が選ばれているならば、''A'' は[[行列 (数学)|行列]] '''''M''''' として表すことができて、 零空間は、[[線型方程式系|線型連立方程式]] '''''Mx''''' = '''0''' を解くことで計算できる。零空間の次元は、行列 '''''M''''' の列の数から[[行列の階数|階数]] rank '''''M''''' を引くことで与えられ、それはまた行列 '''''M''''' の[[行列の階数#線型写像の階数|退化次数]] ({{en|nullity}}) でもある。

== 関連項目 ==
* [[核 (代数学)]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1278|行列のカーネル（核）の性質と求め方}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{線形代数}}

{{DEFAULTSORT:せろくうかん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:線型代数学]]