零行列のソースを表示

[[数学]]において、'''零行列'''（ゼロぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）とは、その成分（[[行列要素|要素]]）が全て 0 の[[行列 (数学)|行列]]。''O'' あるいは 0 と記述されることが多い。
:<math>0 = \begin{bmatrix}
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0      \\
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0      \\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
  0      & 0      & 0      & \cdots & 0 
\end{bmatrix}</math>
また、下付き添字によって行列の型を明記することもある。
:<math> O_2 = O_{2,2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},
O_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
</math>
自明な[[線形変換]]である零作用素を表す行列であり、正方行列の場合には行列環の零元を与えている。

== 性質 ==
以下、''l'', ''m'', ''n'' は任意の自然数とする。

* ''m'' 行 ''n'' 列の零行列 ''O'' と ''m'' 行 ''n'' 列の任意の行列 ''A'' の和は ''A'' + ''O'' = ''O'' + ''A'' = ''A'' となり、差は ''A'' − ''O'' = ''A'', ''O'' − ''A'' = −''A'' となる。
* ''l'' 行 ''m'' 列の零行列 ''O'' と ''m'' 行 ''n'' 列の任意の行列 ''A'' の積 ''OA'' は、''l'' 行 ''n'' 列の零行列となる。
* ''l'' 行 ''m'' 列の任意の行列 ''B'' と ''m'' 行 ''n'' 列の零行列 ''O'' の積 ''BO'' は、''l'' 行 ''n'' 列の零行列となる。

これらのことから、''n'' 次の[[正方行列]]全体のなす[[環論|環]]を考えているとき、零行列はその[[加法単位元|零元]]になる。

== 関連項目 ==
* [[単位行列]]
* [[冪零行列]]

{{DEFAULTSORT:せろきようれつ}}

[[Category:行列]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:0]]
[[Category:数学に関する記事]]