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{{出典の明記|date=2017-08-27}}
'''電信方程式'''（でんしんほうていしき、{{lang-en-short|telegraphic equation}}）とは、[[波動]]や[[信号 (電気工学)|信号]]の伝播を記述する2階の線形[[偏微分方程式]]のこと。[[分布定数回路]]における電流や電圧の分布、導体中の[[電磁場]]の伝播、減衰のある弦の振動などの現象を記述する。

== 定義と性質 ==
空間変数''x'' と時間変数''t'' と実数値関数''u'' (''x'', ''t'' )に対し、

:<math>
\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}  - \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}  +\gamma u=0
</math>

で与えられる双曲型の2階偏微分方程式を'''電信方程式'''という。特に&gamma;=0である場合は、通常の[[波動方程式]]に相当する。

より一般的にn次元の空間変数'''x'''=(''x''<sub>1</sub>,…,''x''<sub>n</sub>) と時間変数''t'' の実数値関数''u'' (''x'', ''t'' )に対し、

:<math>
\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} - \nabla^2 u +\gamma u=0
</math>
で与えられる偏微分方程式も'''電信方程式'''という。但し、&nabla;<sup>2</sup>はn次元における[[ラプラス作用素]]

:<math>
\nabla^2=\frac{\partial ^2}{\partial x_1^{\, 2}} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^{\, 2}} 
+ \cdots + \frac{\partial ^2}{\partial x_n^{\, 2}}
</math>

である。
; 標準形
: 電信方程式は、時間''t'' についての一階の導関数や物理的な係数を含んだ形で、
::<math>
\left [ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2
+ \frac{1}{\kappa^2} \frac{\partial}{\partial t} + \mu^2 \right ]
u(\boldsymbol{x},t) = 0
</math>
: という形式で表現される場合が多い。このような場合でも
::<math>
\chi(\boldsymbol{x},t) = e^{\frac{c^2}{2\kappa^2}t}\cdot u(\boldsymbol{x},t)
, \quad
s=ct, \quad
\gamma=\mu^2-\frac{c^2}{4\kappa^2}
</math>
: という変換にて、
::<math>
\frac{\partial ^2 \chi}{\partial s^2}  - \nabla^2 \chi + \gamma \chi=0
</math>
: となり、上記の形式に帰着される。

== 電信方程式に従う物理現象 ==
=== 分布定数回路における電圧、電流分布 ===
[[伝送線路]]などの[[分布定数回路]]において、位置''x''、時刻''t'' における電圧をV(''x'', ''t'' )、電流をI(''x'', ''t'' )とすると以下を満たす。

:<math>
C \frac{\partial  V}{\partial t}  +GV + \frac{\partial I}{\partial x} =0
</math>
:<math>
L \frac{\partial  I}{\partial t}  +RI + \frac{\partial V}{\partial x} =0
</math>
ここで、''L'' は伝送線路のインダクタンス、''R'' は伝送線路の抵抗、''C'' は伝送線路の容量、''G'' は伝送線路の漏洩コンダクタンスである。狭義の意味では、電信方程式は分布定数回路における、この連立微分方程式そのものを指すことが多い。

上式から互いの変数を消去すれば、

:<math>
LC \frac{\partial ^2 V}{\partial t^2}  +(LG+RC) \frac{\partial V}{\partial t}
- \frac{\partial ^2 V}{\partial x^2}+RGV=0
</math>
:<math>
LC \frac{\partial ^2 I}{\partial t^2}  +(LG+RC) \frac{\partial I}{\partial t}
- \frac{\partial ^2 I}{\partial x^2}+RGI=0
</math>
を得る。

=== 導体中の電磁場 ===
電気伝導率&sigma;、誘電率&epsilon;、透磁率&mu;の導体中において、電場'''E'''('''x''',''t'' )と磁場'''H'''('''x''',''t'' )は、次の形の電信方程式を満たす。

:<math>
\mu \varepsilon  \frac{\partial ^2 \mathbf{E} }{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{E}
+ \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{E} }{\partial t}=0
</math>
:<math>
\mu \varepsilon  \frac{\partial ^2 \mathbf{H} }{\partial t^2} - \nabla^2 \mathbf{H}
+ \mu \sigma \frac{\partial \mathbf{H} }{\partial t}=0
</math>

=== 減衰のある弦の振動 ===
減衰ある弦の振動において、位置''x'' と時刻''t'' における弦の変位を''u'' (''x'', ''t'' )とすると、''u'' (''x'', ''t'' )は

:<math>
\rho \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}-T \frac{\partial ^2 u}{\partial t^2}
+ \rho \kappa \frac{\partial u}{\partial t}=0 
\,</math>

で与えられる電信方程式を満たす。ここで、''T'' は張力、&rho;は弦の線密度、&kappa;は減衰の効果を表す比例係数である。

=== クライン-ゴルドン方程式 ===
[[場の量子論]]において、クライン-ゴルドン場&phi;('''x''',''t'' )の満たす[[クライン-ゴルドン方程式]]は、電信方程式と等価である以下の形で与えられる。

:<math>
\left [
\frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2 }{\partial t^2}-\nabla^2 
+\biggl ( \frac{mc}{\hbar} \biggr ) ^2 
\right ]
\phi(\mathbf{x},t) =0 
</math>

ここで''c'' は光速度、''m'' はクライン-ゴルドン場の粒子の質量である。

== 参考文献 ==
* R. Courant, D. Hilbert, ''Methoden Der Mathematischen Physik '', [[リヒャルト・クーラント|R. クーラン]], [[ダフィット・ヒルベルト|D. ヒルベルト]]（著）、丸山滋弥、斎藤利弥（翻訳）『数理物理学の方法』東京図書

== 関連項目 ==
* [[分布定数回路]]
** [[伝送線路]]
* [[波動方程式]]

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