電子光子相互作用のソースを表示

{{脚注の不足|date=2024年4月}}
'''電子光子相互作用'''（でんしこうしそうごさよう）とは、[[電子]]と[[光]]（[[電磁場]]、[[光子]]）の[[相互作用]]である。

== 概要 ==
光は電磁場の波であるため、[[電荷]]をもつ粒子との間でエネルギーの授受が発生する。

たとえば、電子がエネルギーを失うとき、そのエネルギーは光に変換されうる（発光）。また、光のエネルギーが電子へと受け渡されたとき、電子の[[エネルギー準位]]が変動し、光の色が変化する。光から全てのエネルギーが電子へと受け渡されたとき、その光は消滅する。

== 古典論 ==
1個の電子が[[電磁場]]中にある場合を、[[解析力学]]における[[ラグランジュ形式]]で考えることから出発する。電磁場は[[ベクトルポテンシャル]]'''A'''('''r''', ''t'' ) と[[スカラーポテンシャル]]''Φ''('''r''', ''t'' ) で与えられ、''Φ''('''r''', ''t'' ) = 0 であるとする。この場合、電子には[[ローレンツ力]]が働く。よってこの系の[[ラグランジアン]]は次のように表される。
:<math>L=\frac{m_e \dot{\mathbf{r}}^2}{2}+\frac{e}{c}\dot{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{A}(\mathbf{r},t)</math>
これを[[ルジャンドル変換]]することで[[ハミルトン形式]]に書き換えると、次のような[[ハミルトニアン]]が得られる。
:<math>H=\frac{(\mathbf{p}-e\mathbf{A}(\mathbf{r},t)/c)^2}{2m_e}</math>
::<math>=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e}-\frac{e}{2m_ec}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}(\mathbf{r},t)+\mathbf{A}(\mathbf{r},t)\cdot\mathbf{p})+\frac{e^2}{2m_ec^2}\mathbf{A}^2(\mathbf{r},t)</math>

== 量子論 ==
{{main|電磁場の量子化}}
上記の古典論を[[量子化 (物理学)|量子化]]することで量子論に移行できる。古典論でのハミルトニアンを[[正準量子化]]すると、量子的なハミルトニアンが与えられる。
:<math>\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m_e}-\frac{e}{2m_ec}(\hat{\mathbf{p}}\cdot\hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r},t)+\hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r},t)\cdot\hat{\mathbf{p}})+\frac{e^2}{2m_ec^2}\hat{\mathbf{A}}^2(\mathbf{r},t)</math>
またベクトルポテンシャルも量子化（[[第二量子化]]）されたものを用いれば良い。
:<math>\hat{\mathbf{A}}(\mathbf{r},t)=\sum_{\mathbf{k},\nu=1,2}\sqrt{\frac{2\pi\hbar c^2}{\omega(\mathbf{k})V}}\boldsymbol{\varepsilon}_\nu(\mathbf{k})\{\hat{a}_{\mathbf{k}\nu}(t)e^{i\mathbf{k\cdot r}} + \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}\nu}(t)e^{-i\mathbf{k\cdot r}} \}</math>
ここで''V'' は電磁場が閉じ込められている箱の体積、<math>\omega(\mathbf{k})=c|\mathbf{k}|</math>である。また[[クーロンゲージ]]より<math>\boldsymbol{\varepsilon}_\nu(\mathbf{k})\cdot\mathbf{k}=0</math>、つまりこの電磁波は横波である。これをハミルトニアンに代入すると、
:<math>\hat{H}=\frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m_e} + \hat{H}' +\hat{H}'' </math>
となる。ここで
:<math>\hat{H}' =-\frac{e}{2m_e} \sum_{\mathbf{k},\nu=1,2} \sqrt{\frac{2\pi\hbar }{\omega(\mathbf{k})V}} ( \hat{a}_{\mathbf{k}\nu} + \hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\nu} ) \{ \mathbf{p}\cdot \boldsymbol{\varepsilon}_\nu(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k\cdot r}} + e^{i\mathbf{k\cdot r}}  \boldsymbol{\varepsilon}_\nu(\mathbf{k}) \cdot \mathbf{p}\}</math>

:<math>\hat{H}'' = \frac{e^2}{m_e} \sum_{\mathbf{k},\nu=1,2} \sum_{\mathbf{k'},\nu'=1,2} \frac{\pi\hbar}{\sqrt{\omega_\mathbf{k} \omega_\mathbf{k'} V^2}}  \boldsymbol{\varepsilon}_\nu(\mathbf{k}) \cdot  \boldsymbol{\varepsilon}_\nu'(\mathbf{k'})
( \hat{a}_{\mathbf{k}\nu} + \hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k}\nu} )
( \hat{a}_{\mathbf{k'}\nu'} + \hat{a}^\dagger_{-\mathbf{k'}\nu'} )
e^{i(\mathbf{k+k'})\cdot \mathbf{r}} 
</math>
である。
; 1光子過程
:<math>\hat{H}'</math>は電子が1個の光子を生成・消滅させ電子の運動に変化を誘起する線形の相互作用である。これは[[光吸収]]や[[発光]]などの[[電子遷移]]に関係する。
; 2光子過程
: <math>\hat{H}''</math>は2個の光子が関与する非線形の相互作用である。これは[[レイリー散乱]]、[[ラマン散乱]]などの[[光散乱]]や、[[2光子吸収]]などに関係する。
; 3光子過程
: [[第二次高調波発生]]（[[SHG]]）や[[ハイパーラマン散乱]]などがある。
; 4光子過程
: [[コヒーレントアンチストークス散乱]]（[[CARS]]）などがある。

== 半古典論 ==
光については古典論で扱い、電子については量子論で扱う方法を'''[[半古典論]]'''という。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book |和書 |author1=那須奎一郎 |author2=澤博 |author3=門野良典 |title=物質科学の基礎 |series=KEK物理学シリーズ 5 |publisher=[[共立出版]] |date=2012-04-10 |isbn=978-4320034884}}
* 柴田文明「光散乱の理論」(アグネ出版「固体物理」Vol.20 1985年)

== 関連項目 ==
* [[光電変換]]
* [[光電効果]]
* [[発光ダイオード]]
* [[レーザー]]

{{DEFAULTSORT:てんしこうしそうこさよう}}
[[Category:電磁気学]]
[[Category:電子]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:量子光学]]
[[Category:インタラクション]]