電気双極子のソースを表示

{{出典の明記|date=2012年6月}}
{{物理量
| 名称 = 電気双極子モーメント
| 英語 = electric dipole moment
| 記号 ='''''p'''''
| L = 1
| M = 0
| T = 1
| I = 1
| 階 = ベクトル
| SI = C m
}}

'''電気双極子'''（でんきそうきょくし、{{Lang-en-short|electric dipole}}）とは、大きさの等しい正負の電荷が無限小の間隔で対となって存在する状態のことである。

正負の電荷 {{math|&plusmn;''q''}} の位置を {{math|'''''r'''''{{sub|&plusmn;}}}} としたとき、電気双極子は位置の差 {{math|1='''''&delta;''''' = '''''r'''''{{sub|+}} &minus; '''''r'''''{{sub|&minus;}}}} が無限小の極限として表され、その強さは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p}
 =\lim_{\delta \to 0} \big\{ q\, \boldsymbol{r}_+ -q\, \boldsymbol{r}_- \big\}
 =\lim_{\delta \to 0} q\, \boldsymbol{\delta}</math>
}}
で表される。
[[単位]]は[[デバイ]]。

== 電気双極子による場 ==
位置 {{mvar|'''r'''}} にある電気双極子 {{mvar|'''p'''}} による[[電荷密度]]は
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
\rho(\boldsymbol{x}) &=\lim_{\delta \to 0} \Big\{
 q\, \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_+) -q\, \delta^3(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{r}_-) \Big\} \\
 &=-\boldsymbol{p}\cdot \operatorname{grad} \delta^3(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}) \\
\end{aligned}</math>
}}
となる。複数の電気双極子 {{mvar|'''p'''{{sub|i}}}} が位置 {{mvar|'''r'''{{sub|i}}}}  に分布しているとき、[[重ね合わせの原理]]により
{{Indent|
<math>\rho(\boldsymbol{x}) =-\sum_i \boldsymbol{p}_i \cdot \operatorname{grad} \delta^3(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{r}_i)</math>
}}
となる。

電荷密度 {{mvar|&rho;}} の[[畳み込み]]で表される場
{{Indent|
<math>F(\boldsymbol{x}) =\int \rho(\boldsymbol{y})\, K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{y})\, d^3y</math>
}}
は、電気双極子によるときは
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
F(\boldsymbol{x})
 &=-\int K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{y})\,
 \boldsymbol{p}\cdot \operatorname{grad} \delta^3(\boldsymbol{y} -\boldsymbol{r})\, d^3y \\
 &=-\int \boldsymbol{p}\cdot \operatorname{grad} K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{y})\,
 \delta^3(\boldsymbol{y} -\boldsymbol{r})\, d^3y
 -\oint (\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{n})\,
 K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{y})\,
 \delta^3(\boldsymbol{y} -\boldsymbol{r})\, dS \\
 &=-\boldsymbol{p} \cdot \operatorname{grad} K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{r})
 +\text{(boundary term)} \\
\end{aligned}</math>
}}
となり、双極子が有限の領域に分布しているならば境界項はなくなり
{{Indent|
<math>F(\boldsymbol{x}) =-\boldsymbol{p}\cdot \operatorname{grad} K(\boldsymbol{x} -\boldsymbol{r})</math>
}}
が得られる。

例えば、電気双極子による[[静電ポテンシャル]]は
{{Indent|
<math>\phi(\boldsymbol{x}) =-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}
 \boldsymbol{p} \cdot \operatorname{grad}\frac{1}{ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}| }
 =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\boldsymbol{p}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r})}{ |\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}|^3 }</math>
}}
となる。

== 電気双極モーメント ==
[[電荷密度]] {{mvar|&rho;}} に対して、1次の[[モーメント (数学)|モーメント]]
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})
 =\int (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})\, \rho(\boldsymbol{y})\, d^3y</math>
}}
として、'''電気双極モーメント'''が定義される<ref>[[#jackson|ジャクソン 『電磁気学』]] p.205</ref>。

電荷密度を点電荷の集まり
{{Indent|
<math>\rho(\boldsymbol{x})
 =\sum_i q_i\, \delta(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_i)</math>
}}
と考えるとき、電気双極モーメントは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})
 =\sum_i q_i\ (\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{x})</math>
}}
となる。

電荷分布が全体として中性のとき、すなわち
{{Indent|
<math>Q =\int \rho(\boldsymbol{y})\, d^3y =0</math>
}}
であるとき、電気双極モーメントは
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}) = \int \boldsymbol{y}\, \rho(\boldsymbol{y})\, d^3y</math>
}}
となり、位置 {{mvar|'''x'''}} に依らない一定のベクトルとなる。
特に電気双極子による場合
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x}) = \sum_i \boldsymbol{p}_i</math>
}}
である。

電気双極モーメントは原点付近に局在する電荷分布を近似する[[多重極展開]]における第一近似であり、電荷の総和がゼロの場合に、電気双極子の総和で近似されることを意味している。

{{main|多重極展開}}

== 電気双極子の実体 ==
電気双極子の物理的な実体としては、[[電子]]と[[原子核]]の[[束縛状態]]である[[原子]]や、原子同士の束縛状態である[[分子]]が挙げられる。
例えば[[水の性質|水の分子]]では、酸素原子が電子を引き付けており、分子形状も曲がっているため、酸素原子が負、水素原子が正に偏った電気双極子とみなすことができる。このような電場がかかっていない状態でも分子がもつ電気双極子は'''永久双極子'''と呼ばれる。
また原子や分子に外部電場をかけることで、電荷の偏りが生じて分極する。このときの電気双極子を'''誘起双極子'''という。
外部電場 {{mvar|'''E'''}} に対して誘起される電気双極子を
{{Indent|
<math>\boldsymbol{p} =\alpha \boldsymbol{E}</math>
}}
と表したときの係数 {{mvar|&alpha;}} を[[分極率]]と呼ぶ。

== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author=J.D.ジャクソン
|title=電磁気学（上）
|series=物理学叢書
|publisher=[[吉岡書店]]
|year=2002
|isbn=4-8427-0305-9
|ref=jackson
}}

== 関連記事 ==
* [[双極子]]
* [[電気双極子遷移]]
* [[遷移双極子モーメント]]
* [[磁気モーメント]]
* [[トロイダルモーメント]]

{{電磁気学}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:てんきそうきよくし}}
[[Category:電磁気学]]