電磁場の量子化のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年4月}}
[[量子電磁力学]]では'''電磁場の量子化'''（でんじばのりょうしか）により、粒子の[[運動量]]は[[演算子 (物理学)|演算子]]に置き換わる。[[量子化 (物理学)|量子化]]によって[[電磁場]]は[[光子]]の集まりであることがわかる。つまり、光子の状態を表す[[電磁ポテンシャル]]の[[時間微分]]が[[電場]]、空間微分が[[磁場]]である。

電磁場の量子化には2通り考えられる。1つ目の方法は、[[場の量子論]]の知識によって[[古典物理学|古典的]]な電磁場を量子化して、量子化された電磁場を得る方法である。

2つ目の方法は、[[古典電磁気学]]と[[解析力学]]によって「古典的な電磁場は、無限個の古典的な[[調和振動子]]の集まりと等価である」ことを示し、その調和振動子を[[量子力学]]の知識によって量子化する。すると無限個の量子的な調和振動子を得られるが、それを量子化された電磁場と考える。以下ではこちらの方法について述べる。

==古典的な電磁場と調和振動子==
体積''V'' = ''L''<sup>3</sup>の立方体に閉じ込められた電磁場を考える。この電磁場は、[[電場]]'''E'''('''r''',''t'')と[[磁場]]'''B'''('''r''',''t'')という２つの[[ベクトル場]]からなり、[[マクスウェル方程式]]を満たす。
真空中では[[電磁ポテンシャル]]である[[ベクトルポテンシャル]]'''A'''('''r''',''t'')とスカラーポテンシャル''Φ''('''r''',''t'')を導入することで以下のように表せる。
:<math>
\begin{align}
\mathbf{B}(\mathbf{r}, t) &= \boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)\\
\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) &=  - \boldsymbol{\nabla} \phi (\mathbf{r}, t) - \frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{r}, t)}{\partial t}, \\
\end{align}
</math>
ここで '''&nabla;'''×'''A''' は'''A'''の[[回転 (ベクトル解析)|回転]]である。'''A'''('''r''',''t'')と''Φ''('''r''',''t'')の取り方には任意性があるが、今回は[[クーロンゲージ]]<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = 0</math>を採用する。つまり[[横波]]のみを扱う。

このような電磁ポテンシャルを用いてマクスウェル方程式を書き換えると、ベクトルポテンシャルは[[波動方程式]]を満たさなければならないことがわかる。よって'''E'''や'''B'''の成分が実数であることを考慮すると、
ベクトルポテンシャルは[[平面波]]<math>e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}</math>を基底にして次のように[[フーリエ展開]]することができる（*は複素共役を示している）。
:<math>
\mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \sqrt{\frac{1}{V}} \sum_\mathbf{k}\sum_{\mu=-1,1} \mathbf{e}^{(\mu)}(\mathbf{k}) \left( 
 a^{(\mu)}_\mathbf{k}(t) \, e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 
+ a^{*(\mu)}_\mathbf{k}(t) \, e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} 
\right)
</math>
:<math>a^{(\mu)}_\mathbf{k}(t)=|a^{(\mu)}_\mathbf{k}|e^{-i\omega t+\theta}</math>
ただし<math>|a^{(\mu)}|</math>と<math>\theta</math>は初期条件から決まる任意定数。よってベクトルポテンシャルの時間依存性は、調和振動子と同じ形になっている。

また波動方程式とクーロンゲージを満たさなければならないので
:<math>\omega=c|\mathbf{k}|</math>
:<math>\mathbf{e}^{(\mu)}(\mathbf{k})\cdot\mathbf{k}=0</math>

また'''A'''は箱の反対側の壁と同じ値を持つという[[周期的境界条件]]の結果、波数ベクトル'''k'''の成分は離散値を持つ。
:<math>
\mathbf{k} = \frac{2\pi}{L}(n_x, n_y, n_z)\qquad
n_x,\;n_y,\;n_z = 0,\, \pm1,\, \pm2,\, \ldots
</math>
この'''k'''を１つ決めると、それと垂直な２つの単位ベクトル（偏光ベクトル）<math>\mathbf{e}^{(\mu)}</math>と、時間依存性を表す<math>\omega</math>が決まりベクトルポテンシャルが１つ定まる。

古典的な電磁場のハミルトニアンは次のような形になる。
:<math>
H = \frac{1}{2}\epsilon_0\iiint_V \left( E(\mathbf{r},t)^2 + c^2 B(\mathbf{r},t)^2 \right) \mathrm{d}^3 \mathbf{r}
</math>
ここで<math>Q_{\mathbf{k}\mu}(t)\equiv a^{(\mu)}_\mathbf{k}(t)+a^{*(\mu)}_\mathbf{k}(t)</math>を導入し、これまでの結果を代入すると
:<math>
H = \sum_{\mathbf{k},\mu} \frac{\epsilon_0}{2}(\dot{Q}^2_{\mathbf{k}\mu}(t) + \omega^2 Q^2_{\mathbf{k}\mu}(t))</math>
これは電磁場のエネルギーが無限個の１次元調和振動子の和であることを示している。ここで一般化運動量<math>P_{\mathbf{k}\mu}=\epsilon_0 \dot{Q}_{\mathbf{k}\mu}</math>を導入すると
:<math>
H = \sum_{\mathbf{k},\mu} (\frac{1}{2\epsilon_0}P^2_{\mathbf{k}\mu}(t) + \frac{\epsilon_0}{2}\omega^2 Q^2_{\mathbf{k}\mu})</math>

== 電磁場の量子化 ==
粒子における量子化では、[[運動量]]を演算子に置き換える方法である。
:<math>\mathbf{p}(t) \rightarrow -i\hbar\boldsymbol{\nabla}</math>
プランク定数はここで導入され、古典的表現の時間依存性は量子力学的な演算子には引き継がれない（これは[[シュレーディンガー描像]]でも言える）。

電磁場でも同様のことを行う。
:<math>P_{\mathbf{k}\mu}(t) \rightarrow -i\hbar\frac{\partial}{\partial Q_{\mathbf{k}\mu}}</math>
さらに次のような[[生成消滅演算子]]を導入する。
:<math>\hat{a}^{\dagger}_{\mathbf{k}\mu} = \sqrt{\frac{\omega \epsilon_0}{2 \hbar}} (\hat{Q}_{\mathbf{k}\mu} - \frac{i}{\omega \epsilon_0}\hat{P}_{\mathbf{k}\mu})</math>
:<math>\hat{a}_{\mathbf{k}\mu} = \sqrt{\frac{\omega \epsilon_0}{2 \hbar}} (\hat{Q}_{\mathbf{k}\mu} + \frac{i}{\omega \epsilon_0}\hat{P}_{\mathbf{k}\mu})</math>

すると量子化されたベクトルポテンシャルは以下のように生成消滅演算子を用いて表される。
:<math>
\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \sum_{\mathbf{k},\mu} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega _{\mathbf{k}} V \epsilon_0}}
\mathbf{e}^{(\mu)}(\mathbf{k})  \left(\hat{a}_{\mathbf{k}\mu} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} +
 \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf{k}\mu}  e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right) </math>
よって電場と磁場は次のようになる。
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{r}) = i \sum_{\mathbf{k},\mu} \sqrt{\frac{\hbar \omega_{\mathbf{k}}}{2  V \epsilon_0}}
\mathbf{e}^{(\mu)}(\mathbf{k})  \left(\hat{a}_{\mathbf{k}\mu} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} -
 \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf{k}\mu}  e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right) </math>
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = i \sum_{\mathbf{k},\mu} \sqrt{\frac{\hbar}{2 \omega_{\mathbf{k}} V \epsilon_0}}
[ \mathbf{k} \times \mathbf{e}^{(\mu)}(\mathbf{k}) ] \left(\hat{a}_{\mathbf{k}\mu} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} -
 \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf{k}\mu}  e^{-i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} \right) </math>
古典的な電磁場のハミルトニアンで同じように演算子の置き換えをすることで、量子論的な電磁場のハミルトニアンが得られる。
:<math>
\hat{H} = \sum_{\mathbf{k},\mu} \hbar \omega_{\mathbf{k}}\Big(\hat{a}^{\dagger}_{\mathbf{k}\mu} \hat{a}_{\mathbf{k}\mu} + \frac{1}{2}\Big) 
</math>
よって量子化された電磁場は、量子的な[[調和振動子]]の集合であることがわかる。

== 脚注 ==
<references/>

{{Physics-stub}}

{{デフォルトソート:てんしはのりようしか}}
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[[Category:電磁気学]]
[[Category:物理量]]
[[Category:エネルギー]]
[[Category:数学的量子化]]