電荷キャリア密度のソースを表示

{{About|体積当たりの電子や正孔の個数|体積当たりの電荷|電荷密度|エネルギー当たりの可能な状態数|状態密度}}
'''電荷キャリア密度'''または'''キャリア濃度'''とは、[[体積]]あたりの電荷キャリアの個数である。[[国際単位系]]での単位は m<sup>−3</sup> となる。他の[[密度]]と同じように、位置に依存する。

キャリア密度は、電荷が持つことができるエネルギー範囲で電荷密度を積分することで得られる。

電荷キャリア密度は[[粒子密度]]であり、体積 <math>V</math>で積分するとその体積中の電荷キャリアの個数 <math>N</math>となる。

<math>N=\int_V n(\boldsymbol r) \,\mathrm{d}V</math>

ここで
:<math>n(\boldsymbol r)</math>は位置に依存する電荷キャリア密度。

密度が位置に依存せず定数<math>n_0</math>に等しい場合、この式は次のように簡単にできる。

<math>N=V\cdot n_0</math>

電荷キャリア密度は、[[電気伝導]]や[[熱伝導]]などの現象に関する方程式を含む。

==半導体==
キャリア密度は[[半導体]]で重要であり、[[ドープ|ドーピング]]過程で重要な量である。[[バンド理論]]を用いると、電子密度 <math>n_0</math>は伝導帯での体積当たりの電子の個数である。正孔では <math>p_0</math>は価電子帯での体積当たりの正孔の個数である。電子についてこの数を計算するために、伝導帯の電子の全密度 <math>n_0</math> は、バンドの底 <math>E_\mathrm c</math>からバンドのトップ <math>E_\mathrm{top}</math>までのバンドでの異なるエネルギーにわたって伝導電子密度を合計であるという考えから出発する。

:<math>n_0 = \int\limits_{E_\mathrm c}^{E_\mathrm{top}}N(E) \mathrm dE</math>

電子は[[フェルミ粒子]]であるため、いかなるエネルギーでの伝導電子の密度 <math>N(E)</math>は、可能な伝導状態の数である状態密度 <math>g(E)</math>と実際に電子を持っている状態の割合[[フェルミ分布]] <math>f(E)</math>との積である。

:<math>N(E)=g(E)f(E)</math>

計算を簡単にするため、フェルミ分布に従うフェルミ粒子としての電子を扱う代わりに、[[ボルツマン分布]]で与えられる古典的な相互作用の無い気体としてそれらを扱う。この近似では<math>|E-E_f| \gg k_B T</math>の時に効果を無視でき、それは室温近くの半導体では正しい。この近似は極低温やバンドギャップが非常に小さい場合は正しくない。

:<math> f(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_f}{kT}}} \approx e^{\frac{-(E-E_f)}{k_B T}}</math>

3次元の[[状態密度]]は、

:<math>g(E) = \frac {1}{2\pi^2} \left(\frac{2m^*}{\hbar^2}\right)^\frac{3}{2}\sqrt{E - E_0}</math>

これらの結果、次が得られる。
:<math>n_0= 2 (\frac{ m^* k T}{2 \pi \hbar^2})^{3/2}</math><math> e^{\frac{-(E_\mathrm c - E_f)}{k_B T}}</math>

正孔についても同様な表現が導出される。キャリア濃度は、化学からの[[可逆反応]]の平衡のように、バンドギャップにわたって行ったり来たりする電子を扱うことで計算でき、[[質量作用の法則]]を導く。質量作用の法則はドープされていない材料での真性キャリア濃度と呼ばれる量 <math>n_\mathrm i</math>を定義する。

:<math>n_\mathrm i=n_0=p_0</math>

以下の表は[[真性半導体]]における真性キャリア濃度の値をいくつか載せている。キャリア濃度はドーピングされると変化する。
{|class=wikitable
!材料
!キャリア密度 (1/cm³) @{{Val|300|ul=K}}
|-
|[[シリコン]]<ref>{{cite journal|title=Reassessment of the intrinsic carrier density in crystalline silicon in view of band-gap narrowing|author=Pietro P. Altermatt, Andreas Schenk, Frank Geelhaar,Gernot Heiser|journal=Journal of Applied Physics|volume=93|page=1598|year=2003|doi=10.1063/1.1529297}}</ref>
|{{val|9.65|e=9}}
|-
|[[ゲルマニウム]]<ref>{{cite book|title=Group IV Elements, IV-IV and III-V Compounds. Part b - Electronic, Transport, Optical and Other Properties|author=O. Madelung, U. Rössler, M. Schulz|page=1-3|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F10832182_503|doi=10.1007/10832182_503}}</ref>
|{{val|2.33|e=13}}
|-
|[[ガリウムヒ素]]<ref>{{cite book|title=Gallium arsenide (GaAs), intrinsic carrier concentration, electrical and thermal conductivity|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F10832182_196|doi=10.1007/10832182_196}}</ref>
|{{val|2.1|e=6}}
|}

==金属==
キャリア密度は金属にも適用でき、単純な[[ドルーデモデル]]から計算できる。この場合、キャリア密度（この文脈では自由電子密度とも呼ばれる）は次のように計算できる<ref>{{cite book|title=Solid State Physics|author=Ashcroft, Mermin|page=4}}</ref>。

:<math> n=\frac{N_\mathrm A Z \rho_\mathrm m}{m_\mathrm a}</math>

ここで<math>N_\mathrm A</math>は[[アボガドロ定数]]、Zは[[価電子]]の数、<math>\rho_\mathrm m</math>は物質の密度、<math>m_\mathrm a</math>は[[原子質量]]である。

==測定==
電荷キャリアの密度は多くの場合[[ホール効果]]を用いて決定でき<ref>{{cite journal|title = On a New Action of the Magnet on Electric Currents|author = [[Edwin Hall]]|journal = American Journal of Mathematics|volume = 2|year = 1879|pages = 287–92|url = http://www.stenomuseet.dk/skoletj/elmag/kilde9.html|accessdate = 2008-02-28|doi = 10.2307/2369245|issue = 3|jstor = 2369245 |archiveurl = https://web.archive.org/web/20110727010116/http://www.stenomuseet.dk/skoletj/elmag/kilde9.html|archivedate=2011-07-27 |ref = hallpdf}}</ref>、電圧は密度の逆数に比例する。

==参考文献==
<references />

{{DEFAULTSORT:てんかきやりあみつと}}
[[Category:電気]]
[[Category:密度]]