静電エネルギーのソースを表示

'''静電エネルギー'''（{{Lang-en|electrostatic energy}}）とは、[[電場]]が持つ[[エネルギー]]である。

== 定義 ==
[[自由空間]]において電場 {{mvar|'''E'''}} があるとき、電場は体積あたりの密度で
:<math>u =\frac{\epsilon_0}{2} \boldsymbol{E}^2</math>
のエネルギーを持つ<ref name="jackson_ss1-11">[[#jackson|ジャクソン『電磁気学』]] &sect;1.11, pp.57-62</ref>。このエネルギーが静電エネルギーであり、ある領域 {{mvar|V}} 内の静電エネルギーは積分
:<math>U =\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \boldsymbol{E}^2\, d^3x</math>
で定義される。

=== 媒質中の静電エネルギー ===
媒質がある場合には、[[電気変位]] {{mvar|'''D'''}} により
:<math>u =\int_0^D \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{D}</math>
で与えられる<ref name="jackson_ss4-7">[[#jackson|ジャクソン『電磁気学』]] &sect;4.7, pp.231-237</ref>。[[構成方程式]]を用いれば、[[誘電分極]] {{mvar|'''P'''}} により
:<math>u =\frac{\epsilon_0}{2} \boldsymbol{E}^2 +\int_0^P \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{P}</math>
となる。特に線形媒質の場合には
:<math>u =\epsilon\int_0^E \boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{E} =\frac{\epsilon}{2} \boldsymbol{E}^2</math>
となる。

== ポテンシャル表示 ==
場の時間変動がない場合は[[静電ポテンシャル]] {{mvar|&phi;}} により
:<math>\begin{align}
U &=-\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \boldsymbol{E}\cdot \operatorname{grad}\phi\, d^3x \\
 &=\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \phi\, \operatorname{div}\boldsymbol{E}\, d^3x
 -\frac{\epsilon_0}{2} \int_V \operatorname{div} (\phi \boldsymbol{E})\, d^3x \\
 &=\frac{1}{2} \int_V \rho\, \phi\, d^3x
 -\frac{\epsilon_0}{2} \oint_{\partial V} (\phi \boldsymbol{E})\cdot d\boldsymbol{S} \\
\end{align}</math>
と表される。境界でポテンシャルがゼロとする条件を課すことで第二項を落とせば
:<math>U =\frac{1}{2} \int \rho\, \phi\, d^3x</math>
となる<ref name="jackson_ss1-11"/>。
電位 {{mvar|&phi;{{sub|i}}}} の導体に[[電荷]] {{mvar|q{{sub|i}}}} が充電されているとき
:<math>U =\frac{1}{2} \sum_i q_i \phi_i</math>
である。[[静電容量]]を用いれば
:<math>U =\frac{1}{2} \sum_{i,j} C_{ij} \phi_i \phi_j</math>
となる<ref name="jackson_ss1-11"/>。

== コンデンサ ==
印加電圧 {{mvar|V}} で電荷 {{mvar|Q}} が充電された[[コンデンサ]]のもつ静電エネルギーは、二つの電極板で電荷が <math>q_1=Q</math>、<math>q_2=-Q</math>、電位が <math>\phi_1-\phi_2 =V</math> であることから
:<math>U =\frac{1}{2}(q_1\phi_1 +q_2\phi_2) =\frac{1}{2} Q(\phi_1 -\phi_2) =\frac{1}{2} QV</math>
と導かれる。静電容量を用いれば
:<math>U =\frac{1}{2} CV^2 =\frac{Q^2}{2C}</math>
となる。

== 脚注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
 |author= J.D.ジャクソン
 |title= 電磁気学
 |volume= 上巻
 |series= 物理学叢書
 |publisher= [[吉岡書店]]
 |year= 2002
 |isbn= 4-8427-0308-3
 |ref= jackson
}}

== 関連項目 ==
* [[電場|電場強度]] - [[電気変位]]
* [[静電ポテンシャル]]
* [[静電容量]] - [[コンデンサ]]

{{電磁気学}}

{{DEFAULTSORT:せいてんえねるきい}}
[[Category:電気]]
[[Category:静電気]]
[[Category:電磁気学]]
[[Category:電気理論]]