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{{翻訳中途|[[:en:Nonholonomic system]] 01:16, 21 April 2008(UTC)|date=2008年4月}}
'''非ホロノミック系'''（ひホロノミックけい）とは、連続的に変化して元の値になった時に系全体としては元に戻っていないような微分拘束を受けるパラメータによって記述される[[システム]]である。 

== 概要 ==
[[物理学]]や[[数学]]において、非ホロノミック系とは、連続的に変化して元の値になった時に系全体としては元に戻っていないような微分拘束を受けるパラメータによって記述される[[システム]]である。 
<!-- In [[physics]] and [[mathematics]], a '''nonholonomic system''' is a [[system]] described by a set of parameters subject to differential constraints, such that when the system evolves along a path in its parameter space, where the parameters vary continuously (in the mathematical sense) and return to the identical values they held at the start of the path, the system itself may not have returned to its original state. --> 
より正確には、非ホロノミック系とは、支配パラメータの閉軌道によって、別の状態に移る系である。
<!-- More precisely, a nonholonomic system, also called an anholonomic system, is one in which there is a continuous closed circuit of the governing parameters, by which the system may be transformed from any given state to any other state. 
(reference: Geometry of Manifolds with Special Holonomy: "100 Years of Holonomy", R.L.Bryant, 150 Years of Mathematics at Washington University in St. Louis, Contemporary Mathematics, 395 (2006) pp. 29-38)-->

最終状態がパラメータ空間の経路上での値に依存するため、系は重力の[[逆2乗の法則]]のような[[ポテンシャル]]によって表すことができない。
<!-- Since the final state of the system depends upon the intermediate values of its trajectory through parameter space, the system can not be represented by a conservative potential function as can, for example, the inverse square law of the gravitational force.  -->
ここで挙げた逆2乗の法則はホロノミック系の例である。すなわち、系の解軌道は、初期値と最終値のみによって定まるのであって（ポテンシャルにおける位置）中間の経路とは独立である。
<!-- This latter is an example of a holonomic system: path integrals in the system depend only upon the initial and final states of the system (positions in the potential), completely independent of the trajectory of transition between those states. -->
このため、ホロノミック系は''可積分''と呼ばれ、非ホロノミック系は''不可積分''と呼ばれる。非ホロノミック系において解軌道を積分してゆくと値は一定の範囲のずれを伴い、そのずれのことを軌道によって生成された''anholonomy''と呼ぶ。この用語は,  [[ハインリヒ・ヘルツ]]によって1894年に提案された。
<!--  The system is therefore said to be ''integrable'', while the nonholonomic system is said to be ''nonintegrable''.  When a path integral is computed in a nonholonomic system, the value represents a deviation within some range of admissible values and this deviation is said to be an ''anholonomy''  produced by the specific path under consideration.  This term was introduced by [[Heinrich Hertz]] in 1894.
(reference: Anticipations of Geometric Phase, Michael Berry, Physics Today, December 1990, vol. 43 no. 12 pp. 34-40)-->

非ホロノミック系の一般的性質は互いに依存するパラメータの関係が陽に見えないところにある。1つ以上のパラメータを加えてパラメータ空間の次元を増やすことによって陰な依存関係を除くことができるのでば、系は非ホロノミック系ではなく、単に低次元の空間によって不完全にモデル化されているだけである。一方、系が本質的に独立な座標(パラメータ)によって表現できないのであれば、非ホロノミック系である。この状況を内部状態および外部状態を区別することで説明を試みるものがあるが、実際にはすべてのパラメータが系を特徴付けるのに必要なのであって、内部・外部の区別は人工的なものである。
<!--  The general character of anholonomic systems is that of implicitly dependent parameters.  If the implicit dependency can be removed, for example by raising the dimension of the space, thereby adding at least one additional parameter, the system is not truly nonholonomic, but is simply incompletely modeled by the lower dimensional space.  In contrast, if the system intrinsically can not be represented by independent coordinates (parameters), then it is truly an anholonomic system.Some authors make much of this by creating a distinction between so-called internal and external states of the system, but in truth, all parameters are necessary to characterize the system, be they representative of "internal" or "external" processes, so the distinction is in fact artificial. -->

より簡潔に言えば、保存の原理が作用する系とそうでない系では相容れない違いがあるということである。球面上の[[平行移動]]ではその違いがよくわかる。リーマン多様体は本質的にユークリッド空間とは異なる計量を持っている。球面上の平行移動においては、暗黙の依存関係は非ユークリッド計量に本質的に備わっているものである。球面は2次元の空間である。次元を増やすことで計量の性質がよりはっきりするようにはなるものの、リーマン計量からくる切り離せない依存関係のあるパラメータを持つ2次元空間であることには変わりない。
<!--
Stated more succinctly, there is a very real and irreconcilable difference between physical systems which obey conservation principles and those which do not.  In the case of [[parallel transport]] on a sphere, the distinction is clear: a Riemannian manifold has a metric fundamentally distinct from that of a Euclidean space.  For parallel transport on a sphere, the implicit dependence is intrinsic to the non-euclidean metric.  The surface of a sphere is a two dimensional space.  By raising the dimension, we can more clearly see the nature of the metric, but it is still fundamentally a two dimensional space with parameters irretrievably entwined in dependency by the Riemannian metric.-->

== 非ホロノミック系の例 ==
=== フーコーの振り子 ===
非ホロノミック系の古典的な例は[[フーコーの振り子]]である。局所座標系では振り子は地軸の北方向に関して特定の方向に向いた鉛直面内を振れている。<!-- The classic example of an anholonomic system is the [[Foucault pendulum]].  In the local coordinate frame the pendulum is swinging in a vertical plane with a particular orientation with respect to geographic north at the outset of the path.  -->
系の陰の軌道は振り子の位置を通る緯線である。振り子が地球に固定された座標系で静止していても、太陽を基準とした座標系から見れば地球の公転にしたがって運動しており、振り子の動きが地球の公転によってもたらされたものである。
<!-- The implicit trajectory of the system is the line of latitude on the earth where the pendulum is located.  Even though the pendulum is stationary in the earth frame, it is moving in a frame referred to the sun and rotating in synchrony with the earth's rate of revolution, so that the only apparent motion of the pendulum is that caused by the rotation of the earth. -->
この座標系は[[慣性座標系]]と考えることができるものの、より厳密に考えればこれも慣性系ではない。地球に固定された座標系は[[遠心力]]や[[コリオリ力]]が観測される事実から、非慣性座標として知られている。
<!--  This latter frame is considered to be an inertial reference frame, although it too is non-inertial in more subtle ways.  The earth frame is well known to be non-inertial a fact made perceivable by the apparent presence of [[centrifugal]] and [[coriolis]] forces.-->

緯線にそった運動は、通過時刻によって特徴付けられ、フーコーの振り子の振動面は局所座標において鉛直軸周りに回転する。
<!-- Motion along the line of latitude is parameterized by the passage of time, and as is well known, the Foucault pendulum's plane of oscillation appears to rotate about the local vertical axis as time passes. --> 
この平面の時刻 t における初期状態からの回転角は系の anholonomy である。緯線の円を1周して生じる anholonomy は緯線の円のなす[[立体角]]に比例する。飛行機に搭載された振り子は、飛行機の経路(不規則であってもよい)のなす立体角にやはり比例する。フーコーの振り子は[[平行移動]]の物理的な例である。
<!-- The angle of rotation of this plane at a time t with respect to the initial orientation is the anholonomy of the system.  The anholonomy induced by a complete circuit of latitude is proportional to the [[solid angle]] subtended by that circle of latitude.  The path need not be constrained to latitude circles.  For example, the pendulum might be mounted in an airplane.  The anholonomy will still be proportional to the solid angle subtended by the path, which may now be quite irregular.  The Foucault pendulum is a physical example of [[parallel transport]].-->

=== 転がる球体 ===
この例はとても簡単に確かめることができる。水平なテーブル上に原点として点を、xy軸として線の印をつけた3次元の直交座標系を考える。
<!-- This example is very easy for the reader to demonstrate.  Consider a three dimensional orthogonal Cartesian coordinate frame, for example a level table top with a point marked on it for the origin, and the x and y axes laid out with pencil lines.-->
単位長さの半径を持つ球、例えば卓球の球を手に持って、ある点Bに青い印をつける。この点を通る直径に直行し、球の中心 C を通るような平面は1つの大円を定めるが、これを点Bに対する赤道と呼ぶことにする。球面上の点Bがテーブルの原点に一致するように置くと、点Cは直交座標系において x=0, y=0, z=1 となる。赤道上に別の点Rに赤い印をつけ x=1, y=0, z=1 という座標値を取るようにする。これを初期状態の姿勢とする。
<!--  Take a sphere of unit radius, for example a ping pong ball, and mark one point B in blue.  Corresponding to this point is a diameter of the sphere, and the plane orthogonal to this diameter positioned at the center C of the sphere defines a great circle called the equator associated with point B.  On this equator, select another point R and mark it in red.  Position the sphere on the z=0 plane such that the point B is coincident with the origin, C is located at x=0, y=0, z=1, and R is located at x=1, y=0, and z=1, i.e. R extends in the direction of the positive x axis. This is the initial or reference orientation of the sphere. -->

球は平面 z=0 上で、Cが x=0, y=0, z=1 の位置に戻ってくるような任意の連続した軌跡に沿って、滑ったりスピンせずに転がることができるとする。一般に点Bは原点に戻ってくることはなく、点Rはx軸上の正の点にあるわけではない。実際には、適切な軌道を選ぶことによって、初期姿勢に対して相対的に任意の姿勢にすることができる。
<!-- The sphere may now be rolled along any continuous closed path in the z=0 plane, not necessarily a simply connected path, in such a way that it neither slips nor twists, so that C returns to x=0, y=0, z=1.  In general, point B will no longer coincide with the origin, and point R will no longer extend along the positive x axis.  In fact, by selection of a suitable path, the sphere may be re-oriented relative the initial orientation to any possible orientation of the sphere with C located at x=0, y=0, z=1. (reference: The Nonholonomy of the Rolling Sphere, Brody Dylan Johnson, The American Mathematical Monthly, June-July 2007, vol. 114, pp. 500-508)  -->
したがってこの系は非ホロノミック系である。anholonomy は2つの固有の[[四元数]](q と -q)によって表すことができ、この四元数によって、点BやRは新しい位置に移される。
<!-- The system is therefore nonholonomic.  The anholonomy may be represented by the doubly unique [[quaternion]] (q and -q) which when applied to the points representing the sphere, carries points B and R to their new positions. -->

=== 光ファイバー中の直線偏光した光 ===
光ファイバーの長さを3 [[メートル|m]]とし、厳密に直線状に置く。垂直に偏光した光線を一方の端面から導入すると、偏光した状態のままもう一方の端面から出てくる。偏光の向きにあわせてファイバーの上面に筋模様をつけておく。
<!-- Take a length of optical fiber, say three meters, and lay it out in an absolutely straight line.  When a vertically polarized beam is introduced at one end, it will emerge from the other end, still polarized in the vertical direction.  Mark the top of the fiber with a stripe, corresponding with the orientation of the vertical polarization.-->

ここで、ファイバーを直径10 [[cm]]の円筒の周りに巻きつける。するとファイバーの軌跡は[[曲率]]一定の[[螺旋]]状となる。螺旋は[[捩率]]が一定であるという興味深い性質を持っている。そのため、ファイバーはその曲線を軸として、曲線に沿って進むにつれて回転する。同じように筋模様の螺旋曲線を軸として回転する。
<!-- Now, coil the fiber tightly around a cylinder ten centimeters in diameter.  The path of the fiber now describes a [[helix]] which, like the circle, has constant [[curvature]].  The helix also has the interesting property of having constant [[torsion]].  As such the result is a gradual rotation of the fiber about the fiber's axis as the fiber's centerline progresses along the helix.  Correspondingly, the stripe will also twist about the axis of the helix.-->

再び線形偏光した光を一方の端面から導入すると、もう一方の端面から出てくる光の偏光の向きは筋模様に沿ったものになりそうだが、実際には筋模様とは一定の角度をなし、その角度はファイバー長や螺旋のピッチ、半径に依存する。2つ目の螺旋を用意して、初めの端面に光を戻してやればこの系もまた非ホロノミック系である。この場合 anholonomy は偏光の角度のずれによって表される。パラメータを適切に調整することで、任意の角度を得ることができる。
<!-- When linearly polarized light is again introduced at one end, with the orientation of the polarization aligned with the stripe, it will, in general, emerge as linear polarized light aligned not with the stripe, but at some fixed angle to the stripe, dependent upon the length of the fiber, and the pitch and radius of the helix.  This system is also nonholonomic, for we can easily coil the fiber down in a second helix and align the ends, returning the light to its point of origin.  The anholonomy is therefore represented by the deviation of the angle of polarization with each circuit of the fiber.  By suitable adjustment of the parameters, it is clear that any possible angular state can be produced.-->

== 拘束 ==
非ホロノミック拘束は以下の形をとり、なおかつ不可積分である：
<!-- A nonholonomic constraint has the form given below and is nonintegrable:<ref name="Torby1984">{{cite book |last=Torby |first=Bruce |title=Advanced Dynamics for Engineers |series=HRW Series in Mechanical Engineering |year=1984 |publisher=CBS College Publishing |location=United States of America |language=English |isbn=0-03-063366-4 |chapter=Energy Methods}}</ref>{{rp|261}} -->

: <math>\sum_{i=1}^n a_{s,i} d q_i + a_{s,t} d t = 0~~~~(s = 1, 2, ..., k)</math>
:: <math>n</math> : 座標の数
:: <math>k</math> : 拘束方程式の数
:: <math>q_i</math> : 座標
:: <math>a_{s,i}</math> : 係数

上の形で非ホロノミックとなるためには、左辺が[[全微分]]あるいは[[積分因子]]によっても全微分に変換できるものであってはならない。
<!-- 
In order for the above form to be nonholonomic, it is also required that the left hand side neither be a [[total differential]] nor be able to be converted into one, perhaps via an [[integrating factor]].<ref name="Sarfatti2000">{{cite web |url=http://www.stardrive.org/Jack/Note2.pdf |title=Non Holonomic Constraints in Newtonian Mechanics |accessdate=2007-09-22 |author=Jack Sarfatti |date=2000-03-26 |format=PDF |work=Pedagogical Review from the Classics of Physics |publisher=stardrive.org |language=English}}</ref>{{rp|2-3}}
-->

[[仮想変位]]で表せば、拘束は以下の微分形式で与えられる。
<!-- For [[virtual displacement]]s only, the differential form of the constraint is<ref name="Torby1984"/>{{rp|282}} -->

:<math>\sum_{i=1}^n a_{s,i} \delta q_i = 0~~~~(s = 1, 2, ..., k)</math>.

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ホロノミック系|en|Holonomic constraints}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>

{{Physics-stub}}

{{デフォルトソート:ひほろのみつくけい}}
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:微分幾何学]]
[[Category:古典力学]]
[[Category:数学に関する記事]]