非交和のソースを表示

{{refimprove|date=May 2010}}
[[集合論]]において集合の族の'''直和''' (ちょくわ、{{lang-en-short|direct sum}}) あるいは'''非交和'''（ひこうわ、{{lang-en-short|disjoint union、discriminated union}}）は、以下の緊密に関連した二種類の概念を指して用いられる。
* 識別された和：通常の[[合併 (集合論)|合併]]の操作を少し改変して、合併に属する元がもともとどの集合に入っていたか識別することができるようにしたもの。
* 交わりを持たない和：その族に属する部分集合のどの二つも[[素集合|互いに素]]であるときの、通常の[[合併 (集合論)|合併]]。

前者は識別のための補助的な添字を付与することで各集合は互いに素となるから後者の意味での直和でもあり、前者のことも非交和と呼ぶ場合もある。これらをともに「直和」と呼ぶのは[[直積集合|直積]]の双対であることを示すもので、[[圏論]]の言葉で言えば[[集合の圏]]における[[余積|圏論的直和]]（これは[[同型を除いて]]一意に定まる）の[[普遍性]]を上記の二つはともに満たす。

本項においては主に前者について扱い、それを非交和と呼称する。後者については[[和集合#定義]]を参照のこと。

== 定義 ==
{{math|{{mset|''A''<sub>''i''</sub> | ''i'' ∈ ''I''}}}} を {{mvar|I}} で添え字づけられた[[集合族]]とする。この族の'''非交和'''は集合
: <math>
    \bigsqcup_{i\in I}A_i := \bigcup_{i\in I}\{(x,i) \mid x \in A_i\}
  </math>
である。非交和の元は[[順序対]] {{math|(''x'', ''i'')}} である。ここで {{mvar|i}} はどの {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} から元 {{mvar|x}} が来たかを指し示す補助的な添字として働く。

集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} の各々は自然に集合
: <math>A_i^* := \{(x,i) \mid x \in A_i\}</math>
に同型である。この同型を通して、{{math|''A''<sub>''i''</sub>}} は自然に非交和に埋め込まれていると考えることができる。
{{math|''i'' ≠ ''j''}} に対して、集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>*}} と {{math|''A''<sub>''j''</sub>*}} とは集合 {{math|''A''<sub>''i''</sub>}} と {{math|''A''<sub>''j''</sub>}} とが互いに素でないときでさえ互いに素である。

== 性質 ==
* 固定された集合 {{mvar|A}} の {{mvar|I}} で添字付けられた反復的非交和 {{math|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A'' {{=}} ''A'' &times; ''I''}} は {{mvar|A}} と {{mvar|I}} との[[デカルト積|直積]]である。特に、位数（濃度）について {{math|{{abs|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A''}} {{=}} {{abs|''A''}} &times; {{abs|''I''}}}}。
* 一般に、{{仮リンク|濃度の算術|en|cardinal arithmetic|label=濃度の和}}は非交和の[[濃度 (数学)|濃度]]で与えられる: {{math|{{abs|∐{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} {{=}} &sum;{{sub|''i''&isin;''I''}}&thinsp;{{abs|''A''{{sub|''i''}}}}}}.
* 非交和は[[集合の圏]]における[[余積]]としての[[普遍性]]を満たす。即ち、{{math|&iota;{{sub|''k''}}: ''A''{{sub|''k''}} → ∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} を {{math|&iota;{{sub|''k''}}(''x'') {{=}} (''x'', ''k'')}} で定めると、任意の集合 {{mvar|X}} と写像の族 {{math|''f''{{sub|''i''}}: ''A''{{sub|''i''}} → ''X''}} に対し、{{math|''f''{{sub|''i''}} {{=}} ''f'' ∘ &iota;{{sub|''i''}}}} を満たす{{math|''f'': ∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}} → ''X''}} が一意的に存在する。
* 集合族 {{math|''A''{{sub|''i''}}}} がどのふたつも互いに素、すなわち {{math|''i'' &ne; ''j''}} ならば {{math|''A''{{sub|''i''}} &cap; ''A''{{sub|''j''}} {{=}} &empty;}} を満たすとき、自然な同型 {{math|∐{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}} → ⋃{{sub|''i''}}&thinsp;''A''{{sub|''i''}}}} が存在する。

== 記法に関する注意 ==
集合の[[濃度 (数学)|濃度]]の和に関する事実を示唆して、集合 {{math|''A'', ''B''}} の非交和を {{math|size=large|''A'' + ''B''}} で<ref>ProofWiki</ref>、あるいは集合の族の非交和を {{math|size=large|{{sum|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} で表すことがある（これは乗法の記号を用いる集合族の[[デカルト積|直積]]と対照的な記法になっている。また、この記法に則れば、{{math|{{abs|{{sum|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} {{=}} {{sum|''i''&isin;''I''}} {{abs|''A''{{sub|''i''}}}}}} と和をとる操作と濃度をとる操作が可換であるかのように書ける）。ときどき {{math|size=large|&#x2a04;{{sub|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}}<ref>nlab</ref> あるいは {{math|size=large|&#x2a03;{{sub|''i''&isin;''I''}} ''A''{{sub|''i''}}}} とも書かれる。

非交和が余積を表すという圏論的側面が、しばしば <math>\textstyle\bigsqcup</math> の代わりに <math>\textstyle\coprod</math> を非交和の記号として用いる理由を説明する。

多くの目的にとって補助的な添字の付け方に深い意味は無く、[[記号の濫用|表記の簡素化のための濫用]]において、添字づけられた族は単純に集合の集まりとして扱うことができる。このとき、非交和の定義で用いる（各集合 {{mvar|A}} の元と添字との対からなる集合）{{mvar|A*}} を意図する表現として 「{{mvar|A}} の'''コピー'''」と言う。またこのとき <math>\textstyle\bigcup_{A \in C}^* A</math> と書くことがある。

== 例 ==
集合 {{math|1=''A''{{sub|0}} = {{mset|1, 2, 3}}}} と {{math|1=''A''{{sub|1}} = {{mset|1, 2}}}} の非交和 {{math|''A''{{sub|0}} ⊔ ''A''{{sub|1}}}} あるいは {{math|''A''{{sub|0}} &cup;* ''A''{{sub|1}}}}<ref>MathWorld</ref> は
: <math>
\begin{align}
    A^*_0 & = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0)\} \\
    A^*_1 & = \{(1, 1), (2, 1)\}
\end{align}
  </math>
を用いて、
: <math>
    A_0 \sqcup A_1 = A_0 \cup^* A_1 := A^*_0 \cup A^*_1 = \{(1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (2, 1)\}
  </math>
のように計算される。

== 関連項目 ==
*[[余積]]
*[[非交和 (位相空間論)]]
*{{仮リンク|グラフの非交和|en|Disjoint union of graphs}}
*[[集合の分割]]

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Lang Algebra | edition=3r2004 | page=60}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld |title=Disjoint Union |urlname=DisjointUnion}}
* {{nlab |title= disjoint union |urlname= disjoint+union}}
* {{PlanetMath |title= disjoint union |urlname= DisjointUnion}}
* {{ProofWiki |title= Definition:Disjoint Union (Set Theory) |urlname= Definition:Disjoint_Union_(Set_Theory)}} / {{ProofWiki |title= Definition:Disjoint Union |urlname= Definition:Disjoint_Union}}

* {{SpringerEOM |title= Disjoint union |urlname= Disjoint_union}}

{{DEFAULTSORT:ひこうわ}}
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学に関する記事]]