非可換環のソースを表示

[[数学]]、特に[[抽象代数学|現代代数学]]と[[環論]]において、'''非可換環'''（ひかかんかん、{{lang-en-short|noncommutative ring}}）とは乗法が可換ではない[[環 (数学)|環]]である。つまり、{{math|''a''&bull;''b''&nbsp;≠&nbsp;''b''&bull;''a''}} なる {{math|''R''}} の元 {{math|''a'', ''b''}} が存在する。非可換環論 (noncommutative algebra) は可換とは限らない環に適用できる結果の研究であるが、この分野の多くの重要な結果は特別な場合として可換環にも適用できる<ref>{{Fulton-Harris}}</ref>。

== 例 ==
可換でない環の例をいくつか挙げる：
* [[実数]]上の ''n'' 次全[[行列環]]、ただし ''n''&nbsp;>&nbsp;1。
* ハミルトンの[[四元数]]。
* [[アーベル群|可換]]でない群と零環でない環から作られる任意の[[群環]]
* [[ワイル代数]]
<!--* function composition
* exponation-->

== 歴史 ==
幾何学から生じる[[可除環]]を始まりとして、非可換環の研究は現代代数学の主要な分野に成長している。非可換環の理論と解釈は数多くの著者たちによって19世紀と20世紀に拡張、洗練された。

そのような貢献をした人を何人か挙げる：[[エミール・アルティン|E. Artin]], {{仮リンク|リチャード・ブラウアー|label=Richard Brauer|en|Richard Brauer}}, {{仮リンク|ポール・コーン|label=P. M. Cohn|en|P. M. Cohn}}, [[ウィリアム・ローワン・ハミルトン| W. R. Hamilton]], {{仮リンク|I. N. Herstein|en|I. N. Herstein}}, {{仮リンク|N. Jacobson|en|Nathan Jacobson}}, [[森田紀一]]、[[エミー・ネーター|E. Noether]], {{仮リンク|Ø. Ore|en|Øystein Ore}}.

== 可換環論と非可換環論の違い ==

非可換環は可換環よりもはるかに広いクラスであるから、非可換環の構造や振る舞いは可換環ほど解明されていない。多くの成果は可換環の結果を非可換環に一般化することによって得られてきた。可換環と非可換環の主な違いは[[右イデアル|右イデアルと左イデアル]]を考える必要性である。非可換環の研究者にとってこれらのイデアルの一方にある条件を課しもう一方には課さないということはよくあることだが、可換環では左右の違いが存在しない。

== 非可換環の重要なクラス ==
=== 可除環 ===
{{main|可除環}}
可除環あるいは斜体とは、[[除法]]が可能な[[環 (数学)|環]]である。つまり、0 でない任意の元 ''a'' が[[乗法逆元]]、すなわち {{nowrap|1=''a''·''x'' = ''x''·''a'' = 1}} なる元 ''x'' を持つような、[[零環]]ではない環である<ref>この記事において環は 1 を持つ。</ref>。別の言い方をすれば、環が可除環であることと[[単元群]]が 0 でない元全体であることが同値である。

可除環が[[可換体]]と唯一異なるのは乗法が[[可換]]であると仮定されないということである。しかしながら、[[ウェダーバーンの小定理]]によって、すべての有限可除環は可換でありしたがって[[有限体]]である。歴史的には、英語では可除環は field と呼ばれることもあり、一方可換体は “commutative field” と呼ばれた。日本語では、現在でも[[体 (数学)|体]]は可換体を指すことも可除環を指すこともある。

=== 半単純環 ===
{{main|半単純環}}
（可換とは限らない）単位的環上の[[環上の加群|加群]]が半単純（あるいは完全可約）であるとは、[[単純加群|単純]]（既約）部分加群の[[加群の直和|直和]]であるということである。

環が（左）半単純であるとは、自身の上の左加群として半単純であることをいう。驚くべきことに、左半単純環は右半単純環でもあり、逆もまた然り。それゆえ左右の区別は不要である。

=== 半原始環 ===
{{main|半原始環}}
[[代数学]]において、半原始環、あるいはジャコブソン半単純環、あるいは J-半単純環とは、[[ジャコブソン根基]]が 0 であるような環のことである。これは[[半単純環]]よりも一般的なタイプの環であるが、[[単純加群]]はなお環についての十分な情報を与えてくれる。整数環のような環は半原始環であり、[[アルティン環|アルティン的]]半原始環はちょうど半単純環である。半原始環は[[原始環]]の{{仮リンク|部分直積|en|subdirect product}} として理解することができ、それは{{仮リンク|ジャコブソンの稠密定理|en|Jacobson density theorem}}によって述べられている。

=== 単純環 ===
{{main|単純環}}
単純環 (simple ring) とは、自身と[[零イデアル]]の他に両側[[イデアル]]を持たない、零環でない環である。単純環は必ず単純多元環 (simple algebra) と考えることができる。環としては単純だが加群としては単純でない環が存在する。例えば、可換体上の 2 次以上の全行列環は、（M(''n'',&nbsp;''R'') の任意のイデアルは、''R'' のイデアル ''I'' に対して M(''n'',&nbsp;''I'') の形であるから）非自明なイデアルを持たないが、非自明な左イデアル（すなわちある固定された列が 0 である行列全体の集合）を持つ。

[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]によって、左または右[[アルティン環|アルティン]]であるすべての単純環は、可除環上の行列環である。特に、[[実数]]体上有限次元の[[ベクトル空間]]である単純環は、実数体、[[複素数]]体、[[四元数]]体のいずれかの上の行列環のみである。

任意の[[極大イデアル]]による剰余環は単純環である。特に、体は単純環である。環 ''R'' が単純であることと[[逆転環]] ''R''<sup>o</sup> が単純であることは同値である。

可除環上の行列環ではない単純環の例は[[ワイル代数]]である。

== 重要な定理 ==
=== ウェダーバーンの小定理 ===
{{main|ウェダーバーンの小定理}}
ウェダーバーンの小定理はすべての[[有限集合|有限]][[非可換整域|域]]が可換体であることを述べるものである。言い換えると、{{仮リンク|有限環|en|finite ring}}において、域、[[斜体 (数学)|斜体]]、可換体の違いはない。

{{仮リンク|アルティン・ツォルンの定理|en|Artin–Zorn theorem}}はこの定理を[[交代環]]へと一般化する： すべての有限単純交代環は体である<ref>{{cite book | last=Shult | first=Ernest E. | title=Points and lines. Characterizing the classical geometries | series=Universitext | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2011 | isbn=978-3-642-15626-7 | zbl=1213.51001 | page=123 }}</ref>。

=== アルティン・ウェダーバーンの定理 ===
{{main|アルティン・ウェダーバーンの定理}}
アルティン・ウェダーバーンの定理は[[半単純環]]と[[半単純多元環]]の[[分類定理]]である。定理が述べているのは、（アルティン的<ref>[[半単純環]]は必ず[[アルティン環]]である。著者によっては「半単純」を環が自明な[[ジャコブソン根基]]をもつことを意味するために使う。アルティン環に対しては、2つの概念は同値なので、"アルティン"はあいまいさを排除するためにここに含められている。</ref>）半単純環 ''R'' はある整数 ''n<sub>i</sub>'' に対して[[可除環]] ''D<sub>i</sub>'' 上の有限個の ''n<sub>i</sub>'' 次[[行列環]]の[[環の直積|積]]に同型である。''n<sub>i</sub>'' と ''D<sub>i</sub>'' は両方とも添え字 ''i'' の置換を除いて一意的に決定される。とくに、任意の[[単純環|単純]]左または右[[アルティン環]]は[[可除環]] ''D'' 上の ''n'' 次[[行列環]]に同型で、''n'' と ''D'' は両方とも一意的に決まる<ref name="Beachy1999">{{cite book|author=John A. Beachy|title=Introductory Lectures on Rings and Modules|url=https://books.google.co.jp/books?id=rnNzivBfgOoC&pg=PA156&redir_esc=y&hl=ja|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-64407-5|page=156}}</ref>。

直接の系として、アルティン・ウェダーバーンの定理は可除環上有限次元のすべての単純環（単純多元環）は[[行列環]]であることを意味する。これは{{仮リンク|ジョセフ・ウェダーバーン|en|Joseph Wedderburn}}のもともとの結果である。[[エミール・アルティン]]は後にそれをアルティン環の場合に一般化した。

=== ジャコブソンの稠密性定理 ===
{{main|{{仮リンク|ジャコブソンの稠密性定理|en|Jacobson density theorem}}}}
'''ジャコブソンの稠密性定理''' (Jacobson density theorem) は環 {{mvar|R}} 上の[[単純加群]]に関する定理である<ref>Isaacs, p. 184</ref>。

定理を使って任意の[[原始環]]をベクトル空間の[[線型変換]]の環の「稠密な」部分環と見ることができる<ref>そのような線型変換の環は {{仮リンク|full linear ring|en|full linear ring}}（全線型変換環、全自己準同型環）とも呼ばれる。</ref><ref name="Isaacs187">Isaacs, Corollary 13.16, p. 187</ref>。この定理は1945年に最初に文献に現れた。{{仮リンク|Nathan Jacobson|en|Nathan Jacobson}} による有名な論文 "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" である<ref>[http://www.jstor.org/pss/1990204 Jacobson, Nathan "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions"]</ref>。この定理は[[単純環|単純]][[アルティン環]]の構造についての[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]の結論のある種の一般化と見ることができる。

よりフォーマルに、定理は以下のように述べることができる：

:'''ジャコブソンの稠密性定理。''' {{mvar|U}} を単純右 {{mvar|R}}-加群とし、{{math|''D'' {{=}} End(''U<sub>R</sub>'')}} とし, {{math|''X'' ⊂ ''U''}} を {{mvar|D}}-線型独立な有限集合とする。{{mvar|A}} が {{mvar|U}} 上の {{mvar|D}}-線型変換であれば、ある {{math|''r'' ∈ ''R''}} が存在して、すべての {{math|''x'' &isin; ''X''}} に対して、{{math|''A''(''x'') {{=}} ''x'' • ''r''}} となる<ref>Isaacs, Theorem 13.14, p. 185</ref>。

=== 中山の補題 ===
{{main|中山の補題}}
補題は非可換[[単位的環]] ''R'' 上の右加群に対しても成り立つ。結果の定理は '''ジャコブソン・東屋の定理''' (Jacobson–Azumaya theorem) と呼ばれることもある<ref>{{harvnb|Nagata|1962|loc=§A2}}</ref>。

''J''(''R'') を ''R'' の[[ジャコブソン根基]]とする。''U'' が環 ''R'' 上の右加群で ''I'' が ''R'' の右イデアルであれば、''U'''''·'''''I'' を ''u'''''·'''''i'' の形の元のすべての（有限）和の集合、ただし '''·''' は単純に ''R'' の ''U'' 上の作用、と定義する。''U'''''·'''''I'' は ''U'' の部分加群である。

''V'' が ''U'' の[[極大部分加群]]であれば、''U''/''V'' は[[単純加群]]である。なので ''U'''''·'''''J''(''R'') は ''J''(''R'') の定義と ''U''/''V'' が単純であるという事実によって ''V'' の部分集合である<ref>{{harvnb|Isaacs|1993|p= 182}}</ref>。したがって、''U'' が少なくとも1つの（真の）極大部分加群を含めば、''U'''''·'''''J''(''R'') は ''U'' の真の部分加群である。しかしながら、これは ''R'' 上の任意の加群 ''U'' に対しては成り立つとは限らない、というのも ''U'' が極大部分加群を含まないこともあるからだ<ref>{{harvnb|Isaacs|1993|p=183}}</ref>。もちろん、''U'' が[[ネーター加群]]であれば、これは成り立つ。''R'' が[[ネーター環]]であり ''U'' が[[有限生成加群|有限生成]]であれば、''U'' は ''R'' 上のネーター加群であり、結論が成り立つ<ref>{{harvnb|Isaacs|1993|loc=Theorem 12.19, p. 172}}</ref>。注目すべきなのはより弱い仮定、すなわち ''U'' が ''R''-加群として有限生成（''R'' についての有限性の仮定はない）で結論を保証するのに十分であるということである。本質的にこれが中山の補題のステートメントである<ref name="Isaacs">{{harvnb|Isaacs|1993|loc=Theorem 13.11, p. 183}}</ref>。

正確に言えば、

:'''中山の補題'''： ''U'' を環 ''R'' 上の有限生成右加群とする。''U'' が 0 でなければ、''U'''''·'''''J''(''R'') は ''U'' の真の部分加群である<ref name="Isaacs" />。

=== 非可換の局所化 ===
{{main|環の局所化}}
環の局所化は、環に乗法逆元を機械的に添加する方法である。すなわち、環 {{mvar|R}} とその部分集合 {{mvar|S}} が与えられたとき、環 {{mvar|R&prime;}}と {{mvar|R}} から {{mvar|R&prime;}}への[[環準同型]]を構成して、{{mvar|S}} の準同型像が {{mvar|R&prime;}}における[[単元 (代数学)|単元]]（可逆元）のみからなるようにする。さらに、{{mvar|R&prime;}}が「可能な限りで最良な」あるいは「最も一般な」ものとなるようにするということを考える（こういった状況はふつうは[[普遍性]]によって表されるべきものである）。環 {{mvar|R}} の部分集合 {{mvar|S}} による局所化は {{math|''S''<sup>&minus;1</sup>''R''}} で表され、あるいは {{mvar|S}} が[[素イデアル]] <math>\mathfrak{p}</math> の[[補集合]]であるときには <math> R_{\mathfrak{p}}</math> で表される。{{math|''S''<sup>&minus;1</sup>''R''}} のことを {{mvar|R<sub>S</sub>}} と表すこともあるが、通常混乱の恐れはない。

非可換環の局所化はより難しく、単元を持つことが見込まれる集合 {{mvar|S}} の中にも局所化が存在しない場合がある。局所化の存在を保証する条件の一つに{{仮リンク|オアの条件|en|Ore condition}} がある。

非可換環が局所化を持つ場合で、明らかに興味の対象となるのが、微分作用素の環の場合である。局所化によって、例えば、微分作用素 ''D'' の形式逆元 ''D''<sup>&minus;1</sup> を解釈することができる[[微分方程式]]に対する ''D''<sup>&minus;1</sup> の解釈はいろいろなやり方が様々な文脈で行われるが、局所化の方法による解釈は[[超局所解析]] {{lang|en|(microlocal analysis)}} と呼ばれる、いくつかの分野にわたる大きな数学的理論を形成している。接頭辞 ''micro-'' は特に[[フーリエ理論]]とも関連がある。

=== 森田同値 ===
{{main|森田同値}}
森田同値とは、[[環論]]的な多くの性質を保つ[[環 (数学)|環]]の間の関係のことを言う。これは1958年に同値関係と双対性に関する記号を定義した[[森田紀一]]にちなんで名付けられた。

（結合的で単位元を持つ）環 {{math|''R'', ''S''}} が（'''森田'''）'''同値'''であるとは、（左）{{mvar|R}} 加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と（左）{{mvar|S}} 加群の成す圏 {{math|''S''-Mod}} との間に[[圏同値]]があることを言う。左加群の成す圏 {{math|''R''-Mod}} と {{math|''S''-Mod}} とが森田同値である必要十分条件は、右加群の成す圏 {{math|Mod-''R''}} と {{math|Mod-''S''}} とが森田同値であることを示すことができる。さらに圏同値を与えるどんな {{math|''R''-Mod}} から {{math|''S''-Mod}} への[[関手]]も自動的に[[前加法圏#加法的関手|加法的]]であることを示すことができる。

=== ブラウアー群　===
{{main|ブラウアー群}}
可換体 ''K'' のブラウアー群は、[[アーベル群]]であって、その元は ''K'' 上有限ランクの[[中心的単純多元環]]の[[森田同値]]類であり、加法は多元環の[[テンソル積]]によって誘導されるものである。ブラウアー群は可換体上の[[可除多元環]]を分類しようとする試みから生じたものであり、代数学者 {{仮リンク|Richard Brauer|en|Richard Brauer}} にちなんで名づけられている。群は[[ガロワコホモロジー]]のことばによって定義することもできる。より一般に、[[スキーム (数学)|スキーム]]のブラウアー群は{{仮リンク|東屋多元環|en|Azumaya algebra}}のことばによって定義される。

=== オーア条件 ===
{{main|{{仮リンク|オーア条件|en|Ore condition}}}}
オーア条件は、[[分数体]]やより一般に[[環の局所化]]の構成を[[可換環]]でない場合にも拡張すると言う疑問に関連して、{{仮リンク|Øystein Ore|en|Øystein Ore}} によって導入された条件である。環 ''R'' の[[積閉集合]] ''S'' に対する''右オーア条件''は、{{nowrap|''a'' ∈ ''R''}} と {{nowrap|''s'' ∈ ''S''}} に対して、共通部分 {{nowrap|''aS'' ∩ ''sR'' ≠ {{unicode|∅}}}} というものである<ref>{{cite book|last=Cohn|first=P. M.|title=Algebra |volume=Vol. 3 |edition=2nd |year=1991|chapter=Chap. 9.1| pages=351}}</ref>。右オーア条件を満たす域を'''右オーア域'''と呼ぶ。左の場合も同様に定義される。

=== ゴールディーの定理 ===
{{main|{{仮リンク|ゴールディーの定理|en|Goldie's theorem}}}}
[[数学]]において、'''ゴールディーの定理''' (Goldie's theorem) は、1950年代に {{仮リンク|Alfred Goldie|en|Alfred Goldie}} によって証明された、[[環論]]における基本的な構造的結果である。今では右'''ゴールディー環'''と呼ばれている環 ''R'' は、自身の上の右加群として[[ユニフォーム次元]]が有限（＝"有限ランク"）で、''R'' の部分集合の右[[零化イデアル]]について[[昇鎖条件]]を満たすものである。

ゴールディーの定理が述べているのは、[[半素環|半素]]右ゴールディー環はちょうど[[半単純環|半単純]][[アルティン環|アルティン]]右{{仮リンク|古典的商環|en|classical ring of quotients}} (classical ring of quotients) を持つ環であるということである。そしてこの商環の構造は[[アルティン・ウェダーバーンの定理]]によって完全に決定される。

とくに、ゴールディーの定理は半素右[[ネーター環]]に適用できる、なぜならば定義によって右ネーター環は''すべての''右イデアルについて昇鎖条件が成り立つからである。これは右ネーター環が右ゴールディーであることを保証するのに十分である。逆は成り立たない： 全ての右{{仮リンク|オール域|en|Ore domain}}は右ゴールディー域であり、したがってすべての（可換）[[整域]]は右ゴールディー域である。

ゴールディーの定理の結果の 1 つは、これもまたゴールディーによるものだが、すべての半素[[主右イデアル環]]は[[素環|素]]主右イデアル環の有限個の直和に同型であるというものである。すべての素主右イデアル環は右オール域上の[[行列環]]に同型である。

== 関連項目 ==
* [[非可換調和解析]]
* [[表現論 (群論)]]
* {{仮リンク|導来代数幾何|en|Derived algebraic geometry}}
* {{仮リンク|非可換代数幾何|en|Noncommutative algebraic geometry}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

== 関連文献 ==
* {{cite book
 | last = Isaacs
 | first = I. Martin 
 | year = 1993
 | title = Algebra, a graduate course
 | edition = 1st
 | publisher = Brooks/Cole Publishing Company
 | isbn = 0-534-19002-2
}}
* {{cite book
 | last = Herstein
 | first = I. N. 
 | authorlink = Israel Nathan Herstein
 | year = 1968
 | title = Noncommutative rings
 | edition =1st
 | publisher = The Mathematical Association of America
 | isbn = 0-88385-015-X
}}
* 谷崎俊之：「非可換環」、岩波書店、ISBN 4-00-005875-4 (2006年7月7日)。

{{DEFAULTSORT:ひかかんかん}}
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]