非可算集合のソースを表示

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[[数学]]において、'''非可算集合'''（ひかさんしゅうごう、{{Lang-en|uncountable set}}）、あるいは'''非可算無限集合'''<ref>[http://mathworld.wolfram.com/UncountablyInfinite.html Uncountably Infinite — from Wolfram MathWorld]</ref>とは[[可算集合]]でない無限集合のことである。集合の非可算性は[[基数]]、[[濃度 (数学)|濃度]]という概念と密接に関係している。集合は、その濃度が[[自然数]]全体の集合の濃度より大きいときに、非可算である。

==特徴づけ==

集合の非可算性には多くの同値な言い換えが存在する。集合 ''X'' が非可算であることは以下の各条件とそれぞれ同値である：
* ''X'' から自然数全体への集合への[[単射]]が存在しない。
* ''X'' が空でなく、''X'' の要素からなる ω-[[列 (数学)|列]]をどのようにとっても、その列に入りそこねる ''X'' の元が出てくる。すなわち、''X'' が空でなく、自然数集合から ''X'' への[[全射]]が存在しない。
* ''X'' の濃度が有限でも自然数全体の集合の濃度 <math>\aleph_0</math> でもない。
* ''X'' の濃度が <math>\aleph_0</math> より真に大きい。

最初の3つの条件は[[ツェルメロ・フレンケルの公理系|ZF]]のもとで同値である。しかし、3番目と4番目の条件の同値性はなんらかの選択原理をZFに付け加えない限り証明できない。

==性質==
* 非可算集合 ''X'' が ''Y'' の部分集合なら ''Y'' も非可算集合である。

== 例 ==

非可算集合の例として最も知られているものは[[実数]]全体の集合 '''R''' であろう。その非可算性は[[カントールの対角線論法]]により証明される。対角線論法はその他の集合（例えば、自然数からなる無限列全体の集合、自然数からなる集合全体からなる集合族）の非可算性を証明するのにも応用される。'''R''' の濃度をしばしば[[連続体濃度]]と呼び ''c'' や <math>2^{\aleph_0}</math> または <math>\beth_1</math> ([[ベート数|beth-one]]) で表す。

[[カントール集合]] は '''R''' の非可算部分集合である。カントール集合は[[フラクタル]]構造を持ち、[[ハウスドルフ次元]]が0より大で1未満である（'''R''' は1次元である）。この集合は次の事実の例となっている： '''R''' の部分集合でハウスドルフ次元が0より真に大きいものは必ず非可算集合である。

'''R''' から '''R''' への[[関数 (数学)|関数]]全体の集合も非可算であるが、これは連続体濃度よりもさらに「非可算」である。この集合の濃度は <math>\beth_2</math> (beth-two) で、<math>\beth_1</math> よりも大きいのである。

非可算集合のさらに抽象的な例としては、可算[[順序数]]全体からなる集合 [[最小の非可算順序数|ω<sub>1</sub>]] あるいは Ω がある。ω<sub>1</sub> の濃度を <math>\aleph_1</math> ([[アレフ・ワン|aleph-one]]) で表す。[[選択公理]]を用いることによって、<math>\aleph_1</math> が最小の非可算基数であることが証明できる。このことから、実数全体の集合の濃度 <math>\beth_1</math> は、<math>\aleph_1</math> に等しいか真に大きい。[[ゲオルク・カントール]]は「等しいのか大きいのか、本当はどちらなのか」を問うた最初の研究者である。1900年、[[ダフィット・ヒルベルト]]によりこの問題は[[ヒルベルトの23の問題]]の第1問題とされた。<math>\aleph_1 = \beth_1</math> という主張は今では[[連続体仮説]]と呼ばれ、集合論の[[ツェルメロ＝フレンケル集合論|ZFC]]からは独立であることが証明されている。

==選択公理を用いない場合==

[[選択公理]]を仮定しない場合、<math>\aleph_0</math> と比較できない濃度が存在しうる、具体的には[[デデキント有限]]な無限集合の濃度がそうである。これらの濃度をもつ集合は上記の非可算性の最初の3つの特徴づけを満たすが、4番目は満たさない。これらの集合は濃度の意味で自然数の集合より大きいわけではないので、それを非可算とは呼ぶことを避ける人もいる。

選択公理を仮定する場合、基数 <math>\kappa\!</math> に関する以下の条件は全て同値である：
*<math>\kappa \nleq \aleph_0</math>
*<math>\kappa > \aleph_0</math>
*<math>\kappa \geq \aleph_1</math>、ただし <math>\aleph_1 = |\omega_1 |</math> であり <math>\omega_1\,</math> は <math>\omega\!</math> よりも大きい最小の{{仮リンク|始数|en|Initial ordinal}}である

しかしながら、選択公理を仮定しない場合これらはすべて異なる条件となりうる。そのため、このときどれが最も適切な "非可算性" の一般化であるかは明らかでない。この場合は非可算という言葉を使うことを避け、これらのうちのどれを意味しているのかを明確にすることが最善であろう。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references />

== 参考文献 ==
*[[Paul Halmos|Halmos, Paul]], ''[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
*{{Citation|last=Jech|first=Thomas|authorlink=Thomas Jech|year=2002|title=Set Theory|edition=3rd millennium|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer|isbn=3-540-44085-2}}

==関連項目==
*[[単射]]
*[[自然数]]
*[[アレフ数]]
* [[ベート数]]

==外部リンク==
*[http://www.apronus.com/math/uncountable.htm Proof that '''R''' is uncountable]

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[[Category:無限]]
[[Category:基数]]