非線型シグマモデルのソースを表示

{{要改訳}}
[[場の量子論]]において、'''非線型シグマモデル''' (nonlinear ''σ'' model) は、'''対象多様体'''と呼ばれる非線型多様体 ''T'' 上に値をとる[[スカラー場]] {{mvar|Σ}} である。非線型シグマモデルは {{harvtxt|Gell-Mann|Lévy|1960|loc=section 6}} により導入され、彼らのモデルの中の ''σ'' と呼ばれるスピンを持たないメソンに対応する場に因んで命名された<ref>{{Citation | last2=Lévy | first1=M. | last1=Gell-Mann | first2=M. | title=The axial vector current in beta decay | publisher=Italian Physical Society | doi=10.1007/BF02859738 | year=1960 | journal=Il Nuovo Cimento | issn=1827-6121 | volume=16 | pages=705–726}}</ref>。

==概要==

対象多様体 ''T'' は[[リーマン計量]]&nbsp;''g'' を持つ。{{mvar|Σ}} は[[ミンコフスキー空間]] ''M'' から ''T'' への微分可能写像である。

このとき、現代のカイラル形式における[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン密度]]は、
:<math>\mathcal{L}={1\over 2}g(\partial^\mu\Sigma,\partial_\mu\Sigma)-V(\Sigma)</math>
で与えられる<ref>{{Cite journal | last1 = Gürsey | first1 = F. | title = On the symmetries of strong and weak interactions | doi = 10.1007/BF02860276 | journal = Il Nuovo Cimento | volume = 16 | issue = 2 | pages = 230–240 | year = 1960 | pmid =  | pmc = }}</ref>。ここに +&nbsp;−&nbsp;−&nbsp;− の[[符号数|計量符号]]を使い、[[偏微分]] {{math| ''∂Σ''}} は ''T''&times;''M'' の{{仮リンク|ジェット束|en|jet bundle}}の切断により与えられ、{{mvar|V}} はポテンシャルである。

''n'' を ''T'' の次元とすると、座標 {{math|''Σ<sup>a</sup>''}} (''a''&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;...,&nbsp;''n'') での表記では、
:<math>\mathcal{L}={1\over 2}g_{ab}(\Sigma) (\partial^\mu \Sigma^a) (\partial_\mu \Sigma^b) - V(\Sigma)</math>
である。

2次元以上では、非線型シグマモデルはその次元と同じ結合定数を持つので、摂動的には繰り込み可能ではない。しかしながら、非線型シグマモデルは、格子による定式化においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ<ref>{{cite book | last = Zinn-Justin | first= Jean | title= Quantum Field Theory and Critical Phenomena | publisher = Oxford University Press | date = 2002 }}</ref><ref>{{ cite book | last= Cardy | first= John L. | title = Scaling and the Renormalization Group in Statistical Physics | publisher = Cambridge University Press | date = 1997 }}</ref>。また、[[ケネス・ウィルソン]]により元々の提案がなされている二重展開においても、繰り込み群の非自明な紫外固定点を持つ<ref>{{cite journal | last= Brezin | first= Eduard |author2= Zinn-Justin, Jean| title=Renormalization of the nonlinear sigma model in in 2 + epsilon dimensions | journal=Physical Review Letters| year= 1976 | volume=36 |pages=691–693|doi=10.1103/PhysRevLett.36.691 |bibcode = 1976PhRvL..36..691B }}</ref>。 

どちらのアプローチにおいても、[[n-ベクトルモデル|O(''n'')-対称モデル]]の中の非自明な繰り込み群の固定点を見つけることができ、次元が 2より大きな場合は、秩序相と非秩序相を分離する臨界点を記述することができる。加えて、''O(n)'' モデルは物理的には{{仮リンク|ハイゼンベルク強磁性|en|Heisenberg ferromagnet}}(Heisenberg ferromagnet)や関連するモデルを記述するので、改良された格子理論や量子場理論の予想は{{仮リンク|臨界現象|en|critical phenomena}}(critical phenomena)についての実験と比較することができる。O(''n'') モデルはハイゼンベルク強磁性と関連する物理系を記述ので、臨界現象の実験と比較することが可能である。従って、この系は 2次元にある O(''n'')-対称モデルの物理的振舞いを正確に記述するナイーブな摂動論が失敗し、格子定式化のようなより複雑な非摂動的な方法を必要としていることを示している。

このことは、[[有効場の理論]]としてのみ発生させることができることを意味する。対象多様体の曲率と同じオーダーをの 2点{{仮リンク|連結相関函数|en|connected correlation function}}(connected correlation function)となる距離スケールの周囲に新しい物理を必要としている。このことを理論の{{仮リンク|UV完備化|en|UV completion}}(UV completion)と呼ぶ。非線型シグマモデルには[[ゲージ理論#局所対称性|内部対称群]] ''G''&nbsp;* を持つ特別なクラスが存在する。''G'' を[[リー群]]とし ''H'' をリー部分群とすると、[[商位相空間]] ''G''/''H'' は（''H'' は閉部分集合であるというような、あるテクニカルな制限を入れて）多様体であり、かつ、''G'' の[[等質空間]]である。言い換えると、''G'' の{{仮リンク|非線型的な実現|en|nonlinear realization}}(nonlinear realization)である。多くの場合、''G''/''H'' は ''G''−不変な[[リーマン計量]]を持つことができる。例えば、''G'' が[[コンパクト群]](compact group)であれば、これは常に成立する。''G''-不変なリーマン計量と零ポテンシャルを備えた対象多様体として ''G''/''H'' を持つ非線型シグマモデルは、非線型シグマモデルの商空間（あるいは、コセット空間）と呼ばれる。

{{仮リンク|汎函数積分|label=経路積分|en|Functional integration}}(path integral)を計算するとき、汎函数測度は ''g'' の[[行列式]]の平方根によって「重み付けられる」必要がある。
:<math>\sqrt{\det g}\,\mathcal{D}\Sigma.</math>

==繰り込み==
'''ワールドシート'''と名付けられた 2次元の多様体が求められる弦理論に、このモデルが適合することが明らかとなっている。この一般化された繰り込み性の価値は、{{仮リンク|ダニエル・フリーダン|en|Daniel Friedan}}(Daniel Friedan)により示された<ref name="Frie80">
{{cite journal|last=Friedan|first=D.|authorlink=Daniel Friedan|title=Nonlinear models in 2+ε dimensions | journal = PRL | volume = 45 | issue = 13| pages = 1057 |publisher=|location=| year = 1980 | url = http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.45.1057 |doi= 10.1103/PhysRevLett.45.1057 | bibcode=1980PhRvL..45.1057F}}</ref>。理論が摂動論の主要項のオーダーで
:<math>\lambda\frac{\partial g_{ab}}{\partial\lambda}=\beta_{ab}(T^{-1}g)=R_{ab}+O(T^2)~,</math>
という形の繰り込み群方程式を持つことを、彼は示した。ここの {{math|''R<sub>ab</sub>''}} は対象多様体の[[リッチテンソル]]である。

このことは、固定点を持つ対象多様体の[[アインシュタイン場の方程式]]に従う[[リッチフロー]]を表している。摂動論のこのオーダーでの[[共形場理論|共形不変性]]は、量子補正のために失われることはなく、このモデルの[[量子場理論]]は正しいくりこみであることを認めると、そのような固定点の存在は適切となる。

さらに非線型な相互作用を追加すると、フレーバーカイラルアノマリーは、[[WZWモデル]]として結果する<ref>{{cite journal |first=E. |last=Witten |title=Non-abelian bosonization in two dimensions |journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |volume= 92| issue= 4 |year=1984 | pages= 455–472 | doi= 10.1007/BF01215276|bibcode = 1984CMaPh..92..455W }}</ref>。このモデルはくりこみ性を保存し、{{仮リンク|テレパラリズム|en|teleparallelism}}(teleparallelism)も考えに入れた{{仮リンク|赤外固定点|en|infrared fixed point}}(infrared fixed point)を導き、[[捩率テンソル]]を含むフローの幾何学を議論することとなる ("geometrostasis")<ref>{{Cite journal | last1 = Braaten | first1 = E. | last2 = Curtright | first2 = T. L. | last3 = Zachos | first3 = C. K. | doi = 10.1016/0550-3213(85)90053-7 | title = Torsion and geometrostasis in nonlinear sigma models | journal = Nuclear Physics B | volume = 260 | issue = 3–4 | pages = 630 | year = 1985 | pmid =  | pmc = |bibcode = 1985NuPhB.260..630B }}</ref>。
{{further|リッチフロー}}

==O(3) 非線型シグマモデル==
トポロジカルな性質のため特に興味の持たれている例は、ラグランジアン密度
:<math>\mathcal L= \tfrac{1}{2}\ \partial^\mu \hat n \cdot\partial_\mu \hat n </math>
を持つ次元 1&nbsp;+&nbsp;1 の中の <math>\mathcal{O}(3)</math> 非線型シグマモデルである。ここに <math>\hat{n}=(n_1, n_2, n_3)</math> であり、拘束条件 <math>\hat{n}\cdot\hat{n}=1</math> を持ち、{{math|''μ'' {{=}} 1, 2}} とする。 

このモデルは、無限遠点でラグランジアン密度が 0 となる（<math>\hat{n} =</math> 定数 を意味する）ので、トポロジカルな有限な作用の解を持つ。従って、有限作用解のクラスでは、無限遠点をひとつの点をみなすことができる、つまり、時空は[[リーマン球面]]と同一視することができる。

<math>\hat{n}</math> の場は、同様に球面上にあり、写像 <math>S^2\to S^2</math> は、明らかに、2次元球面の第二[[ホモトピー群]]により分類される解である。これらの解は <math>\mathcal{O}(3)</math> {{仮リンク|インスタントン|en|Instantons}}(instanton)と呼ばれる。

==関連項目==
* [[シグマモデル]]
* {{仮リンク|カイラルモデル|en|Chiral model}}(Chiral model)
* {{仮リンク|リトルヒッグス|en|Little Higgs}}(Little Higgs)
* [[スキルミオン]]、非線型シグマモデルの解
* [[WZWモデル]]
* [[フビニ・スタディ計量]]、非線型シグマモデルと伴によく使用される計量
* [[リッチフロー]]
* [[スケール不変性]]

==参考文献==
{{Reflist|1}}

==外部リンク==
* Ketov, S. V. [http://www.scholarpedia.org/article/Nonlinear_Sigma_model ''Nonlinear Sigma model'']  on Scholarpedia.
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{{Quantum field theories}}
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{{DEFAULTSORT:ひせんけいしくまもてる}}
[[Category:量子場理論]]
[[Category:数理物理学]]