非線形制御のソースを表示

'''非線形制御'''（ひせんけいせいぎょ、[[英語|英]]: {{Lang|en|Nonlinear control}}）は、[[制御工学]]において、とりわけ[[非線形システム論|非線形]]または{{仮リンク|時変系|en|time-variant system|label=時変}}のシステム、あるいは両者を扱う制御方式。

多くの確立した解析および設計技術が、[[LTIシステム理論|線形時不変系（LTIシステム）]]に存在する。
（例えば{{仮リンク|根軌跡|en|root-locus|label=根軌跡}}、[[ボード線図]]、{{仮リンク|ナイキスト安定判別法|en|Nyquist stability criterion|label=ナイキスト安定判別法}}、[[制御理論|状態フィードバック]]、{{仮リンク|極配置|en|Full state feedback|label=極配置}}。）
<!--
英語版で pole placemnet が Full state feedback にリダイレクトとなっているため、極配置の仮リンク先が Full state feedback としていますが、より適切なリンクにするべきと考えます。
--Kstar 2013/10/26
-->
しかしながら、一般的な[[制御システム]]にある制御器と制御対象の一方あるいは両方は、[[LTIシステム理論|LTIシステム]]でない可能性がある。したがって、これらの方法は必ずしも直接適用することができない。

非線形制御理論は、これらの一般的な[[制御システム]]に、既存の線形システムでの手法をどのように適用するかを研究する。

さらに、非線形制御理論は、LTIシステム理論を使用して解析することができない新しい制御方法を提供する。

LTIシステム理論を制御器の解析と設計に使用することができる場合であっても、非線形制御器が魅力的な特性となることがある（例えば、より単純な実装、より高速な動作、より少ない制御電力といった特性）。

非線形制御理論を証明するためには、厳密な[[解析学]]が必要となることが多い。

== 非線形システムの特性 ==
非線形動的システムの特性は以下の通り。
* [[重ね合わせの原理]]（線形性と均質）に従わない。
* 多数の分離された均衡点が存在する可能性がある。
* [[リミットサイクル]]、[[分岐 (力学系)|分岐]]、[[カオス理論|カオス]]のような特性を示す場合がある。
* 有限の逃避時間 (escape time): 非線形システムの解が常に存在するとは限らない。
{{main|非線形システム論}}

== 非線形システムの解析と制御 ==
十分に発達したいくつかの非線形フィードバックシステムの解析手法がある:
* {{仮リンク|記述関数|en|Describing function|label=記述関数}}法<ref name="shidama">{{Cite web|和書
  | url=http://ysserve.wakasato.jp/Lecture/ControlMecha5/node2.html
  | author=信州大 師玉教授
  | title=非線形制御理論
  | accessdate=2013-10-26
}}</ref><ref name="monoist">{{Cite web|和書
  | url=https://monoist.itmedia.co.jp/mn/articles/1109/14/news007_2.html
  | author=モノイスト
  | title=独学！ 機械設計者のための自動制御入門
  | accessdate=2013-10-26
}}</ref>
* {{仮リンク|位相面法|en|Phase plane method|label=位相面法}}<ref name="shidama" />
* [[リアプノフ安定]]解析
* {{仮リンク|特異摂動|en|Singular perturbation|label=特異摂動}}法<ref name="bear">{{Cite web|和書
  | url=http://mechanics.civil.tohoku.ac.jp/~bear/nisikozo/s4node6.html
  | author=東北大 岩熊教授
  | title=1自由度系の非線形振動
  | accessdate=2013-10-26
}}</ref>
* {{仮リンク|Vasile M. Popov|en|Vasile M. Popov|label=ポポフ（Popov）}}条件<ref name="liu">{{Cite web|和書
  | url=http://www.sd.te.chiba-u.jp/sites/default/files/lecture/Robust-new-J.pdf
  | pages=68-78
  | author=千葉大 劉教授
  | title=ロバスト制御理論 講義ノート
  | accessdate=2013-10-27
}}</ref>（後述のLur'e問題を参照）
* {{仮リンク|中心多様体理論|en|Center manifold theorem|label=中心多様体理論}}
* {{仮リンク|小利得の定理|en|Small-gain theorem|label=小利得の定理}}
* {{仮リンク|受動性解析|en|Passivity analysis|label=受動性解析}}

非線形システムのための制御設計技術も存在する。
この方法は、特定の限られた範囲を線形システムとして扱うことを試みる技術と細分化することができる:
* {{仮リンク|ゲイン・スケジューリング|en|Gain scheduling|label=ゲイン・スケジューリング}}
システムを線形として扱い制御設計を行えるように、補助的な非線形フィードバックを導入することを試みる方法:
* {{仮リンク|フィードバック線形化|en|Feedback linearization|label=フィードバック線形化}}
[[アレクサンドル・リャプノフ|リャプノフ]]に基づいた方法:
* {{仮リンク|リャプノフの再設計法|en|Lyapunov redesign|label=リャプノフの再設計法}}
* {{仮リンク|非線形減衰|en|Nonlinear damping|label=非線形減衰}}
* [[:en:Backstepping|Backstepping]]
* {{仮リンク|スライディングモード制御|en|Sliding mode control|label=スライディングモード制御}}

== 非線形フィードバック解析とルーリエ問題 ==
[[ファイル:Lur'e_Problem_Block.jpg|class=skin-invert-image|thumb|400px|Lur'e 問題のブロック線図]]
初期の非線形フィードバックシステム解析問題は[[アナトリー・イサコビッチ・ルーリエ]]によって公式化された。
ルーリエ問題で取り扱われている制御システムは、線形で時間不変のフォワード経路と、メモリのない時変で静的非線形のフィードバック経路を有する。

線形部は4つの行列 (A,B,C,D) で表すことができ、一方、非線形部は次式で示すΦ(y)で表すことができる。
:<math>\frac{\Phi(y)}{y} \in [a,b],\quad a<b \quad \forall y </math> (セクタ非線形)

=== 絶対安定問題 ===
次の条件について検討する:
# (A,B) は制御可能で、(C,A) は観測可能
# 関数Φのセクターを定義するための2つの実数 a,b について a<b
x=0がシステム全体で一様に漸近安定の平衡であるといった、伝達行列 H(s) および {a,b} のみを含む条件を引き出すことが問題である。
これはルーリエ問題として知られている。
<!--
There are two well-known wrong conjections on absolute stability:
* The {{仮リンク|Aizerman's conjecture|en|Aizerman's conjecture|label=Aizerman's conjecture}}
* The {{仮リンク|Kalman's conjecture|en|Kalman's conjecture|label=Kalman's conjecture}}.
There are counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures such that nonlinearity belongs to the sector of linear stability and unique stable equilibrium coexists with a stable periodic solution -- {{仮リンク|hidden oscillation|en|hidden oscillation|label=hidden oscillation}}. 
-->

2つの主要な定理がこの問題に関係する:
* {{仮リンク|円盤条件|en|Circle criterion|label=円盤条件}}<ref name="liu" />
* {{仮リンク|Vasile M Popov|en|Vasile M Popov|label=ポポフ}}条件<ref name="liu" />
これらは、絶対安定の十分条件を与える。
 
==== ポポフ条件 ====
{{仮リンク|Vasile M Popov|en|Vasile M Popov|label=ポポフ（Popov）}}によって研究されたルーリエシステムのサブクラスは次式によって表される:
:<math>
\begin{matrix}
\dot{x}&=&Ax+bu \\
\dot{\xi}&=&u  \\
y&=&cx+d\xi \quad (1) 
\end{matrix} </math>
:<math> \begin{matrix} u = -\phi (y) \quad (2) \end{matrix} </math>
ここで x ∈ R<sup>n</sup> であり、 ξ,u,y はスカラー量、 A,b,c,d は同一の次元である。
Φ: R → R は、''開セクタ（open sector）'' (0, ∞) に属する時不変な非線形要素である。
これは、次式であることを意味する。
:&Phi;(0) = 0, y &Phi;(y) > 0, &forall; y &ne; 0; 
uからyまでの伝達関数は次式で与えられる。 <br>
:<math> H(s) = \frac{d}{s} + c(sI-A)^{-1}b \quad \quad</math>

'''定理:''' 
上記 (1)-(2) のシステムにおいて、次の条件を仮定する。 
# A は[[フルビッツ行列]]
# (A,b) は制御可能
# (A,c) は観測可能
# d > 0
# Φ ∈ (0,∞)
次式に示すような値 r>0 が存在する場合、システムは[[リアプノフ関数|全体的に漸近安定である]]と言える。
:inf<sub>ω ∈ R</sub> Re[(1+jωr)h(jω)] > 0

==== 補足 ====
* ポポフ条件は自律システムにのみ適用可能である。
* ポポフによって研究されたシステムは、原点で極を持っており、入力から出力まで直接の経路がない。
* 非線形Φは開セクター条件を満たさなければならない。

== 非線形制御での理論 ==
===フロベニウスの定理===
{{仮リンク|フロベニウスの定理 (微分幾何学)|en|Frobenius theorem (differential topology)|label=フロベニウスの定理}}は微分幾何学中の{{仮リンク|深い結果|en|deep result|label=深い結果（deep result）}}である。
非線形制御に適用した場合、次のことが言える: 

『<math>x \in R^n</math>, <math>f_1, \dots, f_k</math> が分散 <math>\Delta</math> に属するベクトル場であり、<math>u_i(t)</math> が制御関数であるとき、式
:<math> \dot x = \sum_{i=1}^k f_i(x) u_i(t) \, </math>
で与えられたシステムにおいて、
スパン(<math>\Delta = m</math>) と<math>\Delta</math>が[[対合|対合（involutive）]]な分散ならば、
<math>x</math>の積分曲線が次元<math>m</math> の多様体に制限される』

==関連項目==
* {{仮リンク|帰還不働化|en|Feedback passivation|label=帰還不働化}}<ref>{{Cite web|和書
  | url=https://jglobal.jst.go.jp/detail?JGLOBAL_ID=200902263828935561
  | author=Navarro Lopez
  | title=速度傾斜アルゴリズムによる非線形離散時間系の局部帰還不働化
  | accessdate=2013-10-27
}}</ref>
* [[位相同期回路|位相同期回路（PLL）]]

==参考文献==
{{reflist}}

==関連文献==
{{Refbegin}}
* A. I. Lur'e and V. N. Postnikov, "On the theory of stability of control systems," ''Applied mathematics and mechanics'', 8(3), 1944, (in Russian).
* M. Vidyasagar, ''Nonlinear Systems Analysis'', 2nd edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey 07632.
* A. Isidori, ''Nonlinear Control Systems,'' 3rd edition, Springer Verlag, London, 1995.
* H. K. Khalil, ''Nonlinear Systems,'' 3rd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002. ISBN 0-13-067389-7
* B. Brogliato, R. Lozano, B. Maschke, O. Egeland, "Dissipative Systems Analysis and Control", Springer Verlag, London, 2nd edition, 2007.
*{{Cite journal
 | author = Leonov G.A., Kuznetsov N.V.
 | year = 2011
 | title = Algorithms for Searching for Hidden Oscillations in the Aizerman and Kalman Problems
 | journal = Doklady Mathematics
 | volume = 84
 | pages = 475&ndash;481
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-DAN-Absolute-stability-Aizerman-problem-Kalman-conjecture.pdf
 | doi = 10.1134/S1064562411040120
 | issue = 1}}
*{{Cite journal
 | author = Bragin V.O., Vagaitsev V.I., Kuznetsov N.V., Leonov G.A. 
 | year = 2011
 | title = Algorithms for Finding Hidden Oscillations in Nonlinear Systems. The Aizerman and Kalman Conjectures and Chua's Circuits
 | journal = Journal of Computer and Systems Sciences International
 | volume = 50
 | pages = 511&ndash;543
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-TiSU-Hidden-oscillations-attractors-Aizerman-Kalman-conjectures.pdf
 | doi = 10.1134/S106423071104006X
 | issue = 5}}
*{{Cite journal
 | author = Leonov G.A., Kuznetsov N.V.
 | year = 2011
 | title = Analytical-numerical methods for investigation of hidden oscillations in nonlinear control systems
 | journal = IFAC Proceedings Volumes (IFAC-PapersOnline)
 | volume = 18
 | pages = 2494&ndash;2505
 | url = http://www.math.spbu.ru/user/nk/PDF/2011-IFAC-Hidden-oscillations-control-systems-Aizerman-problem-Kalman.pdf 
 | doi = 10.3182/20110828-6-IT-1002.03315
 | issue = 1
 | series = Proceedings of the 18th IFAC World Congress
 | editor1-last = Sergio
 | editor1-first = Bittanti
 | isbn = 9783902661937}}
{{Refend}}

{{制御理論}}
{{DEFAULTSORT:ひせんけいせいきよ}}
[[Category:制御工学]]
[[Category:数学に関する記事]]