非負行列のソースを表示

[[数学]]の分野において、'''非負行列'''（ひふぎょうれつ、{{Lang-en-short|nonnegative matrix}}）とは、すべての成分がゼロ以上であるような[[行列]]、すなわち
: <math>\mathbf{X} \geq 0, \qquad \forall i,j\, x_{ij} \geq 0 </math>
であるような行列の X のことを言う。'''正行列'''（せいぎょうれつ、positive matrix）とは、すべての成分がゼロよりも厳密に大きい行列のことを言う。正行列の集合は、すべての非負行列の集合の部分集合である。

[[マルコフ連鎖]]に関する遷移行列は、非負行列である。

長方形非負行列は、{{仮リンク|非負行列因子分解|en|non-negative matrix factorization}}を介した二つの異なる非負行列の分解によって近似することが出来る。

正行列は、[[行列の定値性|正定値行列]]とは異なる。非負かつ正半定値であるような行列は、'''二重非負行列'''（doubly non-negative matrix）と呼ばれる。

正の正方行列の固有値と固有ベクトルは、[[ペロン＝フロベニウスの定理]]によって表現される。

== 逆行列 ==
任意の[[正則行列|非特異]][[M-行列]]の逆行列は、非負行列である。もしその非特異M-行列がさらに対称行列でもあるなら、それは[[スティルチェス行列]]と呼ばれる。

非負行列の逆行列は、通常は非負行列ではない。その例外として、非負の[[一般化置換行列|単項行列]]が挙げられる。すなわち、非負行列の逆行列がふたたび非負行列であるための必要十分条件は、それが（非負の）単項行列であることである。したがって、正行列は次元 <math>n > 1 </math> に対して単項行列でないことに注意すれば、そのような正行列の逆行列は、正行列でも非負行列ですらも無いという事実に注意されたい。

== 特殊化 ==
特殊化された非負行列には多くのグループが存在する。例えば、[[確率行列]]、[[二重確率行列]]、[[対称行列|対称非負行列]]などが挙げられる。

== 関連項目 ==
* [[メッツラー行列]]
* {{ill|非負値行列因子分解|en|Non-negative matrix factorization}}

== 参考文献 ==
# Abraham Berman, Robert J. Plemmons, ''Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences'', 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
# A. Berman and R. J. Plemmons, ''Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences'', Academic Press, 1979 (chapter 2), ISBN 0-12-092250-9 ※これが初版で、1994年のSIAMのものはこれの再発行。
# R. A. Horn and C. R. Johnson, ''Matrix Analysis'', Cambridge University Press, 1990 (chapter 8).
# {{cite book| last = Krasnosel'skii
 | first = M. A. 
 | authorlink = :en:Mark Krasnosel'skii
 | title=Positive Solutions of Operator Equations
 | publisher=P.Noordhoff Ltd
 | location= [[フローニンゲン|Groningen]]
 | year=1964| pages=381 pp.}}
#{{cite book| last1 = Krasnosel'skii
 | first1 = M. A.
 | authorlink1=:en:Mark Krasnosel'skii
 | last2 = Lifshits
 | first2 = Je.A.
 | last3 = Sobolev
 | first3 = A.V.
 | title = Positive Linear Systems: The method of positive operators
 | series = Sigma Series in Applied Mathematics | volume=5 |pages=354 pp.
 | publisher = Helderman Verlag
 | location= [[ベルリン|Berlin]]
 | year=1990}} 
# Henryk Minc, ''Nonnegative matrices'', John Wiley&Sons, New York, 1988, ISBN 0-471-83966-3
# Seneta, E. ''Non-negative matrices and Markov chains''. 2nd rev. ed., 1981, XVI, 288 p., Softcover Springer Series in Statistics. (Originally published by Allen & Unwin Ltd., London, 1973) ISBN 978-0-387-29765-1
# [[:en:Richard S. Varga|Richard S. Varga]] 2002 ''Matrix Iterative Analysis'', Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
* Nicolas Gillis: ''Nonnegative Matrix Factorization'', SIAM, ISBN 978-1-611976-40-3 (2020).
* Andrzej Cichocki; Rafel Zdunek; Anh Huy Phan; Shun-ichi Amari: ''Nonnegative Matrix and Tensor Factorizations: Applications to Exploratory Multi-way Data Analysis and Blind Source Separation'', John Wiley & Sons, ISBN 978-0-470-74666-0 (2009).
{{Linear-algebra-stub}}
{{DEFAULTSORT:ひふきようれつ}}
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