鞍点のソースを表示

{{出典の明記| date = 2023年8月}}
[[File:Saddle point.png|thumb|関数 <math>f(x,y) = x^2-y^2</math> の鞍点]]
{{読み仮名_ruby不使用|'''鞍点'''|あんてん|{{lang-en-short|saddle point}}}}は、[[多変数関数|多変数実関数]]の変域の中で、ある方向で見れば[[極大値]]だが別の方向で見れば[[極小値]]となる点である。

'''鞍部点'''、'''峠点'''とも言う。[[微分可能関数|微分可能]]な関数については'''極値を取らない停留点'''とも言う。

== 定義 ==
点 <math>(a_1,\dots,a_n)</math> が 多変数実関数 <math>f(x_1,\dots,x_n)</math> の鞍点であるとは、[[零ベクトル]]でない[[∃|ある]]2つの[[空間ベクトル|ベクトル]] <math>(M_1,\dots,M_n)</math> と <math>(m_1,\dots,m_n)</math> に対し、
: 関数 <math>g(t)=f(a_1+tM_1,\dots,a_n+tM_n)</math> が <math>t = 0</math> で極大となる。
: 関数 <math>h(t)=f(a_1+tm_1,\dots,a_n+tm_n)</math> が <math>t = 0</math> で極小となる。
が成り立つということである。
極大・極小の定義に、[[等号]]を認めるか認めないかで広義と狭義があるため、鞍点の定義にも広義と狭義がある。

例えば、図の2変数関数 <math>f(x,y)=x^2-y^2</math>において、点を原点 <math>(0,0)</math> とし方向を <math>(m_1,m_2)=(1,0)</math>とすると、関数<math>g(t)=f(t,0)=t^2</math>は点<math>(0,0)</math>で極小となり、点を原点 <math>(0,0)</math> とし方向を <math>(M_1,M_2)=(0,1)</math>とした関数<math>h(t)=f(0,t)=-t^2</math>は点<math>(0,0)</math>で極大となるので、点<math>(0,0)</math>は2変数関数 <math>f(x,y)=x^2-y^2</math>の鞍点となる。

== 特徴 ==
[[微分可能関数|微分可能]]な多変数実関数の[[停留点]]（[[勾配ベクトル]]が[[零ベクトル]]となる点、つまり、[[接平面]]が[[水平]]になる点）は、鞍点か極値である。

== 関連項目 ==
* [[極値]]
* [[停留点]]
* [[ヘッセ行列]]
* [[遷移状態]]
* [[最大最小不等式]]

{{analysis-stub}}

{{デフォルトソート:あんてん}}
[[Category:安定性の理論]]
[[Category:解析学]]
[[Category:解析幾何学]]
[[Category:曲面の微分幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:多変数微分積分学]]