頂点関数のソースを表示

:[[Image:Vertex correction.svg|right|200px|thumb|[[量子電磁力学]]における3点頂点関数の1ループ補正を表す[[ファインマン・ダイアグラム]]。波線は[[光子]]、実線は[[電子]]を表す。]]

[[場の量子論]]において、'''頂点関数'''（ちょうてんかんすう、vertex function）とは、複数の[[粒子]]が[[相互作用]]する過程を記述する相関関数である。[[量子電磁力学]]においては、[[電子]]のような[[荷電粒子]]が[[仮想粒子|仮想的な]][[光子]]を吸収する（放出する）過程であり、3点頂点関数に対する1ループの'''頂点補正'''（ちょうてんほせい、vertex correction）は電子の[[異常磁気モーメント]]に支配的な寄与を及ぼす。

==概要==
頂点関数Γ<sup>μ</sup>は[[有効作用]]Γ<sub>eff</sub>の[[汎関数微分]]によって定義される。[[量子電磁力学]]における3点頂点関数は、[[電磁場]]との[[結合定数 (物理学)|結合定数]] eを用いて

:<math>\Gamma^\mu (x,y,z)= -{1\over e}\frac{\delta^3 \Gamma_{\mathrm{eff}}(\bar{\psi},\psi,A_\mu)}{\delta \bar{\psi}(x) \delta \psi(y) \delta A_\mu(z)}</math>

となる。

頂点関数Γ<sup>μ</sup>の中で最も支配的な寄与は、頂点因子に含まれる[[ガンマ行列]]γ<sup>μ</sup>である。さらに、頂点関数には量子電磁力学が持つ対称性（[[ローレンツ変換|ローレンツ対称性]]、[[ゲージ対称性]]）が要請され、その形式は[[ウォード＝高橋恒等式|ワード＝高橋恒等式]]によって以下のように制限されている。 

:<math> \Gamma^\mu = \gamma^\mu F_1(q^2) + \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_{\nu}}{2 m} F_2(q^2) </math>

ここで、<math> \sigma^{\mu\nu} = (i/2) [\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}] \,</math> であり、q<sub>ν</sub>は外部から入射する光子の[[四元運動量]]である。係数F<sub>1</sub>(q<sup>2</sup>)とF<sub>2</sub>(q<sup>2</sup>)は'''形状因子'''(form factor)と呼ばれ、光子の運動量の2乗q<sup>2</sup>のみに依存する。ダイアグラムの最低次においては、F<sub>1</sub>(q<sup>2</sup>) = 1、F<sub>2</sub>(q<sup>2</sup>) = 0となり、このとき電子は内部構造を持たない点状粒子となっている。それ以上高次のF<sub>1</sub>(0)に対する補正は、[[繰り込み]]を用いて計算される。形状因子F<sub>2</sub>(0)は、電子の[[異常磁気モーメント]]aに対応しており、[[ランデのg因子]]を用いて以下のように表される。

:<math> a = \frac{g-2}{2} = F_2(0) </math>

==計算例==
[[量子電磁力学]](QED)における3点頂点関数の[[ファインマン・ダイアグラム]]の計算例を以下に示す。

各々の因子は[[ファインマンルール]]の定義によって異なるが、ここでは[[フェルミ粒子]]の[[伝播関数]] <math>i/(p\!\!/ -m+i \epsilon)</math> 、QEDの頂点因子<math>-ie\gamma^\mu \,</math>などを用いて、1ループの頂点補正を計算する。頂点関数Γ<sup>μ</sup>は裸の頂点因子γ<sup>μ</sup>に補正項δΓ<sup>μ</sup>を加えた形式で表される（頂点因子の係数-ieをつけて表せば、<math>-ie\Gamma^\mu = -ie\gamma^\mu -ie\delta \Gamma^\mu \,</math>）から、δΓ<sup>μ</sup>に対応するダイグラムを計算すればよい。入射するフェルミ粒子の運動量をp、外部から入射する光子の運動量をq、ループを作る仮想光子の運動量をkとすると、δΓ<sup>μ</sup>は

:[[Image:Vertex correction.svg|120px]] = <math> \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} (-ie\gamma^\nu) \frac{i}{p\!\!/ - k\!\!\!/ -m+i \epsilon} (\gamma^\mu) \frac{i}{k\!\!\!/ +q\!\!\!/ -m+i \epsilon} (-ie\gamma^\rho) \frac{-ig_{\nu\rho}}{k^2+i \epsilon} \,</math>

となる。上記のダイアグラムには便宜上、フェルミ粒子や光子の外線が引かれているが、頂点補正の計算に含まれるのは実線（フェルミ粒子）2本＋波線（光子）から成るループ部分のみである。

==参考文献==
*{{Cite book|
 |author=M.E. Peskin
 |coauthors=D.V. Schroeder
 |year=1995
 |title=An Introduction To Quantum Field Theory
 |publisher=Westview Press
 |isbn=978-0201503975
}}

==関連項目==
* [[繰り込み]]
* [[真空偏極]]
* [[自己エネルギー]]

{{DEFAULTSORT:ちようてんかんすう}}
[[Category:場の量子論]]