順像関手のソースを表示

[[数学]]の[[層 (数学)|層論]]や[[代数幾何学]]の分野に現れる'''順像関手'''（じゅんぞうかんしゅ、{{Lang-en-short|direct image functor}}）とは、[[層 (数学)|層の切断]]の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

== 定義 ==

''f'': ''X'' → ''Y'' をある[[位相空間]]の[[連続写像]]とし、''Sh''(–) をある位相空間上の[[アーベル群]]の層の[[圏 (数学)|圏]]とする。次の'''順像[[関手]]'''

:<math>f_*: Sh(X) \to Sh(Y)</math>

は、''X'' 上の層 ''F'' をその順像前層（direct image presheaf）

:<math>f_*F : U \mapsto F(f^{-1}(U)) </math>

に送る。この前層は ''Y'' 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、''X'' 上の[[層 (数学)|層の射]] φ: ''F'' → ''G'' は ''Y'' 上の層の射 ''f''<sub>∗</sub>(φ): ''f''<sub>∗</sub>(''F'') → ''f''<sub>∗</sub>(''G'') を導く。

=== 例 ===

''Y'' が点であるなら、順像関手は{{仮リンク|大域切断関手|en|global section functor}}と等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像（exceptional inverse image）は関手 f<sup>!</sup>: D(Y) → D(X) である。

=== 応用 ===

同様の定義は[[エタール射|エタール層]]のような[[トポス (数学)|トポス]]の上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 ''f''<sup>−1</sup>(''U'') の代わりに ''Y'' についての ''U'' と ''X'' の{{仮リンク|引き戻し (数学)|label=ファイバー積|en|Pullback (category theory)}}が用いられる。

== 高次順像 ==

順像関手は[[完全関手|左完全]]（left exact）であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の[[導来関手|右導来関手]]を考えることが出来る。それらは'''高次順像'''（higher direct images）と呼ばれ、''R<sup>q</sup> f''<sub>∗</sub> と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、''X'' 上のある層 ''F'' に対して ''R<sup>q</sup> f''<sub>∗</sub>(''F'') は前層
:<math>U \mapsto H^q(f^{-1}(U), F)</math>
に対応する層となる。

== 性質 ==

* 順像関手は、{{仮リンク|逆像関手|en|inverse image functor}}の[[随伴関手|右随伴]]であり、このことは任意の連続な <math>f: X \to Y</math> およびそれぞれ ''X''、''Y'' 上の層である <math>\mathcal F, \mathcal G</math> に対して、自然同型
:<math>\mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(X)}(f^{-1} \mathcal G, \mathcal F ) = \mathrm{Hom}_{\mathbf {Sh}(Y)}(\mathcal G, f_*\mathcal F)</math>
が存在することを意味する。

* ''f'' がある閉部分空間 ''X'' ⊂ ''Y'' の包含であるなら、''f''<sub>∗</sub> は完全である。実際、この場合 ''f''<sub>∗</sub> は ''X'' 上の層と ''Y'' 上の層の間の[[圏同値|同値性]]となり、それは ''X'' 上でサポートされる。この事実より、<math>(f_* \mathcal F)_y</math> の茎（stalk）は、<math>y \in X</math> なら <math>\mathcal F_y</math> で、そうでないならゼロとなる（この証明には ''Y'' 内での ''X'' の{{仮リンク|近さ (数学)|label=近さ|en|Closeness (mathematics)}}が用いられる）。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|固有基底変換定理|en|Proper base change theorem}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Iversen | first1=Birger | title=Cohomology of sheaves | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 | mr=842190 | year=1986}}, esp. section II.4

{{PlanetMath attribution|id=31101|title=Direct image (functor)}}

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