順序数定義可能集合のソースを表示

数学の[[集合論]]において、集合''S''が'''順序数定義可能'''（じゅんじょすうていぎかのう、{{lang-en-short|ordinal definable}}）であるとは、非形式的には、
有限個の[[順序数]]によって[[一階述語論理|一階述語論理式]]による定義を用いてされること。'''順序数定義可能集合'''は{{harvtxt|Gödel|1965}}によって導入された。

この非形式な定義の短所は量化が一階述語論理の式全てにわたる必要があり、これは集合論の言語では形式化できないことである。しかしながら、その定義を形式的に記述する方法はある。そのアプローチでは、集合<math>S</math>を<math>V_{\alpha_1}</math>の要素として一階述語論理式 φ、α<sub>2</sub>...α<sub>n</sub> をパラメータとしてとることによって定義できるような有限個の順序数''α''<sub>1</sub>...''α''<sub>n</sub>があるときに、順序数定義可能であると形式的に定義される。

ここで <math>V_{\alpha_1}</math> は[[フォン・ノイマン宇宙|フォン・ノイマン階層]]の''α''<sub>1</sub>番目のことである。言い換えると、''S''は量化を<math>V_{\alpha_1}</math>に制限したときに、式 φ(''S'', α<sub>2</sub>...α<sub>n</sub>) を成り立たせる一意的な対象ということである。

順序数定義可能集合全てによる[[クラス (集合論)|クラス]]を OD で表す。これは[[推移的集合|推移的]]クラスというわけではないし、一般には[[外延性公理]]を満たさないから普通は[[ツェルメロ＝フレンケル集合論|ZFC]]のモデルともいえない。集合が'''遺伝的順序数定義可能'''であるとは、その集合が順序数定義可能であり、かつその[[推移閉包]]の全ての要素が順序数定義可能であることをいう。遺伝的順序数定義可能集合全てによるクラスを HOD で表す。これは定義可能な整列付けによりZFCの推移的モデルになる。全ての集合が順序数定義可能であるという主張（ないしは遺伝的順序数定義可能であるという主張）は集合論の公理と無矛盾である。この主張は V = OD や V = HOD として表される。これは[[V = L]]と、ユニバースの(定義可能な) [[整列集合|整列づけ]]の存在性が同値であることから導かれる。V = HOD を表す式は HOD の中で真である必要はないことには注意。HODの中では HOD 自体の解釈がさらに小さい内部モデルを考えられることから、この式は[[絶対性 (数理論理学)|絶対的]]ではない。

== 参照 ==
*{{Citation | last1=Gödel | first1=Kurt | editor1-last=Davis | editor1-first=Martin | editor1-link= Martin Davis | title=The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions | origyear=1946 | publisher=Raven Press, Hewlett, N.Y. | id={{MathSciNet | id = 0189996}} | year=1965 | chapter=Remarks before the Princeton Bicentennial Conference on Problems in Mathematics | pages=84–88|isbn=978-0486432281}}
*{{Citation | last1=Kunen | first1=Kenneth | author1-link= Kenneth Kunen | title=Set theory: An introduction to independence proofs | publisher=[[Elsevier]] | isbn=978-0-444-86839-8 | year=1980}}

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