類似中線のソースを表示

[[Image:Lemoine punkt.svg|thumb|300px|三角形の[[中線]]（青）、[[角の二等分線]]（緑）、類似中線（赤）。3本の類似中線は[[類似重心]]（ルモワーヌ点）で交わる。]]
'''類似中線'''（るいじちゅうせん、''Symmedian''）は任意の[[三角形]]に対して定義される3本の直線である。

類似中線は、三角形の[[角の二等分線]]を対称軸として、[[中線]]と対称の位置にある直線である（すなわち、中線と等角共役である）。三角形における3本の類似中線は1点で交わる。この点は[[重心]]の等角共役点であり、特に[[類似重心]]またはルモワーヌ点と呼ばれる。

== 歴史 ==
フランスの[[エミール・ルモワーヌ]]は、[[1873年]]に3本の類似中線が1点に交わることを証明した。それよりも前に{{仮リンク|エルンスト・ヴィルヘルム・グリーブ|de|Ernst Wilhelm Grebe}}が[[1847年]]に論文を発表している。スイスの[[サイモン・アントワーヌ・ジャン・リュイリエ]]は[[1809年]]にこの点について言及している。

== 性質 ==
* 円ABCの点B,Cにおける接線の交点をXとすると、AXは三角形ABCの角A内の類似中線である。Y,ZをB,Cに対してXと同様に定義する。△XYZは[[接線三角形]]で△ABCと△XYZは類似重心を中心に配景的である（AX,BY,CZは類似重心で交わる）。
* 三角形ABCの角A内の類似中線と辺BCの交点をS(≠A)とすると <math>AB^2:AC^2=BS:SC</math> が成り立つ。
* 三角形ABCの角A内の類似中線と円ABCの交点をK(≠A)とし、辺BCの中点をMとする。このとき以下が成り立つ。
** 三角形ABKと三角形AMCは同じ向きに相似である。
** KAは三角形KBCの角K内の類似中線である。
** 四角形ABKCはAB×KC=BK×CAを満たす（[[調和四角形]]である）。

== 類似重心 ==
3本の類似中線の交点は'''類似重心'''または'''ルモワーヌ点'''と呼ばれる。ドイツではグリーブ点とも呼ばれる。

三角形の3辺の長さを ''a'', ''b'', ''c'' とすると類似重心の[[三線座標]]は ''a'' : ''b'' : ''c'' 、[[重心座標]]は ''a<sup>2</sup>'' : ''b<sup>2</sup>'' : ''c<sup>2</sup>'' となる。

[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]と辺の接点を D, E, F としたとき、三角形 DEF の類似重心は元の三角形の[[ジェルゴンヌ点]]になる。

ルモワーヌ点を通り、各辺に[[平行]]に引いた直線と辺との6つの交点は同一円周上にある。この円のことを'''第一ルモワーヌ円'''と呼ぶ。また、ルモワーヌ点を通り、各辺に[[逆平行線|逆平行]]に引いた直線と辺との6つの交点は同一円周上にある。この円のことを'''第ニルモワーヌ円'''と呼ぶ。それぞれの中心は[[ブロカール円]]の中心、ルモワーヌ点である。

{{seealso|エミール・ルモワーヌ#ルモワーヌ点とルモワーヌ円}}

== 他の図形との関係 ==
2つの[[ブロカール点]]を焦点とし、3辺に接する[[楕円]]をブロカール楕円という。この楕円が辺と接する点は、辺と類似中線の交点である<ref>岩田至康『幾何学大辞典』（1971年初版）II P.497</ref>。

重心とルモワーヌ点を焦点に持つ[[接円錐曲線#内接円錐曲線|内接円錐曲線]]をルモワーヌ内接楕円という。また、ルモワーヌ内接楕円の[[接円錐曲線#polar triangle|Polar triangle]]、Polar triangleの外接円はそれぞれルモワーヌ三角形、第三ルモワーヌ円と呼ばれる<ref>{{MathWorld|title=Lemoine Inellipse|urlname=LemoineInellipse}}</ref>。

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* Ross Honsberger, "The Symmedian Point," Chapter 7 in ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry'', The Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1995.

== 外部リンク ==
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/SymAntiparallel.shtml Symmedian and Antiparallel] at cut-the-knot
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Sym2Antiparallel.shtml Symmedian and 2 Antiparallels] at cut-the-knot
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Symmedian.shtml Symmedian and the Tangents] at cut-the-knot
* [http://www.uff.br/trianglecenters/X0006.html An interactive Java applet for the symmedian point]
* {{MathWorld|title=Symmedian Point|urlname=SymmedianPoint}}
* [http://www.pballew.net/isogon.html Isogons and Isogonic Symmetry]
* {{MathWorld|title=First Lemoine Circle|urlname=FirstLemoineCircle}}

{{DEFAULTSORT:るいしちゆうせん}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:三角形]]
[[Category:直線]]