類数公式のソースを表示

[[数論]]における、'''類数公式'''（るいすうこうしき、{{lang-en|class number formula}}）は、[[代数体]]の多くの重要な不変量（特に[[イデアル類群]]の位数である類数）を[[デデキントゼータ函数]]の特殊値に関係付ける公式である。
<!---In [[number theory]], the '''class number formula''' relates many important invariants of a [[number field]] to a special value of its [[Dedekind zeta function]]-->

==一般的な類数公式==
以下のように定義する。
*''K'' を数体とする。
* [''K'' : '''Q'''] = ''n''= ''r''<sub>1</sub> + 2''r''<sub>2</sub> であるとする。ここに <math>r_1</math> は ''K'' の[[実埋め込み]]の数を表し、<math>2r_2</math> は ''K'' の複素埋め込みの数を表す。
*<math> \zeta_K(s)</math> を ''K'' のデデキントのゼータ函数とする。
*<math>h_K</math> は[[イデアル類群|類数]]、すなわち ''K'' のイデアル類群の元の数
*<math>\operatorname{Reg}_K</math> は ''K'' の単数基準（[[ディリクレの単数定理#単数基準|レギュレータ]]）
*<math>w_K</math> は ''K'' に含まれる[[1の冪根]]の数
*<math>D_K</math> は代数拡大 ''K''/'''Q''' の{{仮リンク|代数体の判別式|label=判別式|en|discriminant of an algebraic number field}}
<!---==General statement of the class number formula==
We start with the following data:

* {{mvar|K}} is a number field. 
* {{math|[''K'' : '''Q'''] {{=}} ''n'' {{=}} ''r''<sub>1</sub> + 2''r''<sub>2</sub>}}, where {{math|''r''<sub>1</sub>}} denotes the number of [[real and complex embeddings|real embeddings]] of {{mvar|K}}, and {{math|2''r''<sub>2</sub>}} is the number of complex embeddings of {{mvar|K}}. 
* {{math|''ζ<sub>K</sub>''(''s'')}} is the [[Dedekind zeta function]] of {{mvar|K}}. 
* {{math|''h<sub>K</sub>''}} is the [[ideal class|class number]], the number of elements in the ideal class group of {{mvar|K}}.
* {{math|Reg<sub>''K''</sub>}} is the [[regulator (mathematics)|regulator]] of {{mvar|K}}.
* {{math|''w<sub>K</sub>''}} is the number of [[root of unity|roots of unity]] contained in {{mvar|K}}.
* {{math|''D<sub>K</sub>''}} is the [[discriminant of an algebraic number field|discriminant]] of the [[Algebraic extension|extension]] {{math|''K''/'''Q'''}}.-->

すると、次の定理が成り立つ。

'''定理'''（類数公式） ''K'' の[[デデキントゼータ函数]] <math>\zeta_K(s)</math> は、<math>\Re(s)>1</math> で[[絶対収束]]し、''s'' = 1 に唯一の[[極 (複素解析)|一位の極]]を持つ複素平面全体で定義される[[有理型函数]]へ拡張（解析接続）できる。その極における[[留数]]は
:<math> \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}</math>
である。

これが最も一般的な「類数公式」である。特別な場合、例えば ''K'' が '''Q''' の[[円分拡大|円分拡大体]]のときには、より精密な類数公式が存在する。

{{seealso|円分体#円分体の類数公式}}
<!---Then:

:'''Theorem (Class Number Formula).''' {{math|''ζ<sub>K</sub>''(''s'')}} [[conditionally convergent|converges absolutely]] for {{math|Re(''s'') > 1}} and extends to a [[meromorphic]] [[function (mathematics)|function]] defined for all complex {{mvar|s}} with only one [[simple pole]] at {{math|''s'' {{=}} 1}}, with residue

::<math> \lim_{s \to 1} (s-1) \zeta_K(s) = \frac{2^{r_1} \cdot(2\pi)^{r_2} \cdot h_K \cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}</math>

This is the most general "class number formula". In particular cases, for example when {{mvar|K}} is a [[cyclotomic extension]] of {{math|'''Q'''}}, there are particular and more refined class number formulas.-->

==証明==

類数公式の証明のアイデアは、''K'' = '''Q'''(''i'') のときが一番理解しやすい。この場合には、''K'' の整数環は[[ガウス整数]]環である。

基本的な計算で、デデキントのゼータ函数の ''s'' = 1 での留数は、デデキントのゼータ函数の[[ディリクレ級数]]表現における係数の平均値である。ディリクレ級数の ''n'' 番目の係数は、本質的に ''n'' を非負な整数の二乗の和として表現する方法（整数の順序対）の数である。したがって、デデキントのゼータ函数の ''s'' = 1 での留数は、表現の数の平均値を計算することで求めることができる。これは、{{仮リンク|ガウスの円の問題|en|Gauss circle problem}}(Gauss circle problem){{Efn|平面上で原点を中心とした半径 ''r'' の円の中に整数の格子点がいくつあるかという問題。}}の記事にあるように、原点を中心とする四分円の中に入る格子点の数を近似することで計算でき、留数は π/4 となる。

K が任意の虚二次体の場合は、これと非常に似た証明となる<ref>[https://www.math.umass.edu/~weston/oldpapers/cnf.pdf Tom Weston - Lectures on the Dirichlet Class Number Formulafor Imaginary Quadratic Fields]</ref>。

一般の場合は、[[ディリクレの単数定理|ディリクレ単数定理]]によって、K の整数環の単数群は無限群である。それにもかかわらず、実埋め込みと複素埋め込み (classical theory of real and complex embeddings) という古典的な理論<ref>{{Cite web|url=http://planetmath.org/realandcomplexembeddings|title=real and complex embeddings|accessdate=2020年7月}}</ref>を使うことで留数の計算を格子点の数え上げ問題に還元することができ、格子点の数を領域の体積で近似できるため、証明が可能である。

==ディリクレの類数公式==

[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]は1839年に[[二次体]]の類数公式の証明を出版したが、[[イデアル]]類というより、[[二次形式]]の言葉で書かれていた。ガウスは既にこの公式を1801年には知っていたと考えられる。<ref>{{Cite web|url=http://mathoverflow.net/questions/109330/did-gauss-know-dirichlets-class-number-formula-in-1801|title=nt.number theory - Did Gauss know Dirichlet's class number formula in 1801? - MathOverflow|accessdate=2020年7月}}</ref>  

この記述は、ダベンポート (Davenport)<ref name=Davenport>
{{cite book |last1=Davenport |first1=Harold |authorlink1=Harold Davenport |editor1-first=Hugh L. |editor1-last=Montgomery |editor1-link=Hugh Montgomery (mathematician) |title=Multiplicative Number Theory |url=https://books.google.co.jp/books?id=U91lsCaJJmsC&redir_esc=y&hl=ja |accessdate=2009-05-26 |edition=3rd |series=Graduate Texts in Mathematics |volume=74 |year=2000|publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-95097-6 |pages=43–53 }}
</ref>のものに従う。

''d'' を{{仮リンク|基本判別式|en|fundamental discriminant}}とし、''h''(''d'') を判別式 ''d'' を持つ二次形式の同値類の数とする。<math>\chi = \left(\!\frac{d}{m}\!\right)</math> を{{仮リンク|クロネッカーの記号|en|Kronecker symbol}}とする。すると <math>\chi</math> は[[ディリクレ指標]]である。<math>\chi</math> の[[ディリクレのL-函数|ディリクレのL-級数]]を <math>L(s,\chi)</math> と書くことにする。''d'' > 0 に対し ''t'' > 0 とし、''u'' > 0 である u を[[ペル方程式]] <math>t^2 - d u^2 = 4</math> の最小の解として、
:<math>\epsilon = \frac{1}{2}(t + u \sqrt{d}).</math>
と書くことにする。（すると ''ε'' は[[二次体|実二次体]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> の[[代数体#基本単数系|基本単数]]、もしくは基本単数の二乗となる）

''d'' < 0 としたとき、判別式が ''d'' である二次形式の自己同型の数を ''w'' とする。すなわち、
:<math>w =
\begin{cases}
2, & d < -4; \\
4, & d = -4; \\
6, & d = -3.
\end{cases}
</math>
としたときに、ディリクレは、
:<math>h(d)=
\begin{cases}
\dfrac{w \sqrt{|d|}}{2 \pi} L(1,\chi), & d < 0; \\
\dfrac{\sqrt{d}}{\ln \epsilon} L(1,\chi), & d > 0.
\end{cases}</math>
となることを示した。このことは上記の定理 1 の特別な場合であり、[[二次体]] K に対して、デデキントのゼータ函数は、まさに <math>\zeta_K(s) = \zeta(s) L(s, \chi)</math> となり、留数は <math>L(1,\chi)</math> となる。またディリクレは、L-級数は有限の形に書くことが可能であることをも示し、このことは類数が有限の形となることを意味している。主導手 <math>q</math> に対して、<math>\chi</math> が原始的 (primitive) である（→[[w:Dirichlet character#Primitive characters and conductor]]）と仮定すると、
:<math> L(1, \chi) =
\begin{cases}
-\dfrac{\pi}{q^{3/2}}\sum_{m=1}^{q-1} m \left( \dfrac{m}{q} \right), & q \equiv 3 \mod 4; \\
-\dfrac{1}{q^{1/2}}\sum_{m=1}^{q-1} \left( \dfrac{m}{q} \right) \ln 2\sin \dfrac{m\pi}{q} , & q \equiv 1 \mod 4.
\end{cases}</math>
となる。

{{seealso|二次体#二次体の類数公式}}

==有理数のガロア拡大==
''K'' を '''Q''' の[[ガロア拡大]]とすると、[[アルティンのL-函数]]の理論を <math> \zeta_K(s)</math> へ適用する。これは[[リーマンゼータ函数]]の一つの因数を持ち、留数が 1 の極を持ち、商が ''s'' = 1 で正則になる。すなわち、類数公式の右辺が左辺である
:<math>\prod L(1,\rho)^{\dim \rho}</math>
に等しいとみなすことができる。''ρ'' は次元 dim(''ρ'') の Gal(''K''/'''Q''') の既約な非自明複素[[線型表現]]の類のすべてをわたる。これは、[[正則表現 (数学)|正則表現]]の標準的な分解に従うものである。

==有理数のアーベル拡大==
これは上記のケースで Gal(K/'''Q''') が[[アーベル群]]である（ガロア群がアーベル群の場合を[[アーベル拡大]]と言う）ケースで、このときすべての ρ は（[[類体論]]を経由して）、''f'' を法とする[[ディリクレ指標]]（[[導手]]と呼ばれる）に置き換えることができる。したがって、すべての ''L''(1) の値は[[ディリクレのL-函数]]となり、これに対して対数を含む古典的な公式が存在する。

[[クロネッカー・ウェーバーの定理]]により、'''解析的類数公式'''に必要とされるすべての値は、円分体を考えたときに既に発生している。この場合には、[[エルンスト・クンマー]]により示されたことであるが、さらに定式化が存在する。[[単数基準|レギュレータ]]は、円分体の単数の対数によって割ることで得られる「対数空間」の中の体積の計算だが、{{仮リンク|円分体の単数|en|cyclotomic unit}}の対数として認識できる ''L''(1) から逆算することが出来る。類数は、単数の群全体における円分体の単数のインデックスから決定することが可能という結論となる。

[[岩澤理論]]では、これらのアイデアは、{{仮リンク|スティッケルベルガーの定理|en|Stickelberger's theorem}}(Stickelberger's theorem) とさらに深く結びついている。
<!---==Abelian extensions of the rationals==
This is the case of the above, with Gal(''K''/'''Q''') an [[abelian group]], in which all the ρ can be replaced by [[Dirichlet character]]s (via [[class field theory]]) for some modulus ''f'' called the [[conductor of an abelian extension|conductor]]. Therefore all the ''L''(1) values occur for [[Dirichlet L-function]]s, for which there is a classical formula, involving logarithms.

By the [[Kronecker–Weber theorem]], all the values required for an '''analytic class number formula''' occur already when the cyclotomic fields are considered. In that case there is a further formulation possible, as shown by [[Ernst Kummer|Kummer]]. The [[Regulator (mathematics)|regulator]], a calculation of volume in 'logarithmic space' as divided by the logarithms of the units of the cyclotomic field, can be set against the quantities from the ''L''(1) recognisable as logarithms of [[cyclotomic unit]]s. There result formulae stating that the class number is determined by the index of the cyclotomic units in the whole group of units.

In [[Iwasawa theory]], these ideas are further combined with [[Stickelberger's theorem]].-->

==脚注==
{{脚注ヘルプ}}

===注釈===
{{Notelist}}

===出典===
{{reflist}}

==参考文献==
* {{cite book | author=W. Narkiewicz | title=Elementary and analytic theory of algebraic numbers | edition=2nd ed | publisher=[[Springer-Verlag]]/[[Polish Scientific Publishers PWN]] | year=1990 | isbn=3-540-51250-0 | pages=324–355 }}

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[[Category:代数的整数論]]
[[Category:二次形式]]
[[Category:数学に関する記事]]