類数問題のソースを表示

[[数学]]における、'''（虚二次体の）ガウスの類数問題''' ([[英語|英]]: Gauss class number problem)とは、普通は、各 n&nbsp;≥&nbsp;1 に対し[[イデアル類群|類数]]が n である[[二次体|虚二次体]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> （ただし d は負の整数）の完全なリストを求める問題である。この名前は[[カール・フリードリヒ・ガウス]](Carl Friedrich Gauss)にちなむ。また、{{仮リンク|代数体の判別式|en|Discriminant_of_an_algebraic_number_field}}の観点から記述することもできる。これと関連する問題として、実二次体の場合や、 <math>d \to -\infty</math> のときどのような振る舞いを示すか、というものがある。

この問題の困難な点は、範囲の有効(effective)な計算である。与えられた判別式に対して類数を計算することは易しく、類数の無効(ineffective)な下限がいくつか存在するが（つまり、それらは計算されない定数を含む）、しかし有効な範囲を求めること（そしてリストの完全性の証明）は難しい。

==元々のガウスの予想==
この問題は1801年にガウスが [[Disquisitiones Arithmeticae]] (Section V, Articles 303-304) の中で示した。<ref>{{Cite book|洋書 |title=Analytic Number Theory{{colon}} A Tribute to Gauss and Dirichlet |year=2007 |publisher=AMS and Clay Mathematics Institute |pages=247–256 |ref=harv |last=Stark |first=H. M. |editor-last=Duke |editor-first=William |language=en |isbn=978-0-8218-4307-9 |chapter=The Gauss Class-Number Problems |url=https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/03/cmip07c.pdf |format=pdf |access-date=2023-12-19 |editor2-first=Yuri |editor2-last=Tschinkel |url-status=free}}</ref>

ガウスは Article 303 で虚二次体について議論し、最初に 2つの予想を提示した。Article 304 では3つめの実二次体についての予想を提示した。
; ガウスの予想(Gauss Conjecture) (類数の無限大傾向)
: <math>d\to -\infty</math> のとき <math>h(d) \to \infty</math>
ただし、''h''(''d'')は二次体<math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math>の類数を表す。
; ガウスの類数問題(Gauss Class Number Problem) (小さな類数のリストアップ)
: 与えられた小さな類数（例えば、1 とか 2 とか 3 ）に対して、ガウスはその類数を持つ虚二次体のリストを与え、また、それが完全なものであると信じた。
; 類数が 1 である実二次体の無限存在性
: ガウスは類数が 1 である実二次体は無限に存在すると予想した。

元々のガウスの虚二次体の類数問題は、現代の命題とは重要な違いがあり、容易な形となっている。ガウスは、（代数体の）判別式が偶数の値をもつものに限定し、非基本判別式(non-fundamental discriminant)を許容した。

==本問題の状況==
; ガウスの予想: ハイルブロン(Heilbronn)により、1934年に解決（虚二次体）
; 小さな類数に対するリスト: 類数 1: ベイカー(Baker) (1966), スターク(Stark) (1967), ヘーグナー(Heegner) (1952)により解決
: 類数 2: ベイカー(Baker) (1971), スターク(Stark) (1971)<ref name=irelandrosen>{{citation | last1 = Ireland | first1 = K. |last2 = Rosen | first2 = M. | title = A Classical Introduction to Modern Number Theory  | publisher = Springer-Verlag | year = 1993  | location = New York, New York  | pages = 358–361  | isbn = 978-0-387-97329-6}}</ref>により解決
: 類数 3: オステルレ(Oesterlé)により1985年に解決<ref name=irelandrosen/>
: 類数 ''h'' が 100 まで: ワトキンス(Watkins)により2004年に解決<ref name=watkins>{{citation | last1 = Watkins | first1 = M. | title = Class numbers of imaginary quadratic fields  | series = Mathematics of Computation | volume = 73 | issue = 246 | year = 2004  | pages = 907–938 | url=http://www.ams.org/mcom/2004-73-246/S0025-5718-03-01517-5/home.html| doi = 10.1090/S0025-5718-03-01517-5 | doi-access = free }}</ref>
; 類数が 1 である実二次体の無限存在性: 未解決

==類数 1 の判別式のリスト==
{{details|ヘーグナー数}}
虚二次体に対しては、類数が 1 である体の{{仮リンク|基本判別式|en|fundamental discriminant}}(fundamental discriminant)は、
: <math>d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.</math>
である。

類数が 1 である体の非基本判別式(non-fundamental discriminant)は、
: <math>d=-12,-16,-27,-28.</math>
である。

したがって、非基本判別式を含む、類数が 1 の体の判別式が偶数のものは（元々のガウスの問題）、
: <math>d=-4,-8,-12,-16,-28.</math>
となる。

==現代の発展==
1934年、{{仮リンク|ハンス・ハイルブロン|en|Hans Heilbronn}}(Hans Heilbronn)はガウスの予想を証明した。同じことであるが、与えられた任意の類数に対し、その類数を持つ虚二次体は有限個しかない。

同じく1934年には、ハイルブロンと{{仮リンク|エドワード・リンフォート|en|Edward Linfoot}}(Edward Linfoot)は、類数が 1 の虚二次体が多くとも 10個しかないことを示した（9個は既知で、多くともあと1つだけ）。結果は非有効的であり（計算可能ではないという意味、[[数論の有効な結果|有効な結果]]を参照）、残っている体の大きさの範囲を示すことができなかった。

その後の発展として、n = 1 の場合が最初に{{仮リンク|クルト・ヘーグナー|en|Kurt Heegner}}(Kurt Heegner)により議論され、[[モジュラ形式]]や{{仮リンク|モジュラ方程式|en|modular equation}}(modular equation)を使い、そのような体が9個以外には存在しないことを示した。この成果は最初は受け入れられなかったが、後に{{仮リンク|ハロルド・スターク (数学者)|label=ハロルド・スターク|en|Harold Stark}}(Harold Stark)や[[ブライアン・バーチ]](Bryan Birch)の成果により主張が明確化され、ヘーグナーの成果が理解されるようになった。{{仮リンク|スターク・ヘーグナーの定理|en|Stark–Heegner theorem}}(Stark–Heegner theorem)や[[ヘーグナー数]](Heegner number)を参照。実質的に同時期に[[アラン・ベイカー]](Alan Baker)は、現在[[代数体|数体]]の対数の線型形式上の[[ベイカーの定理]]として知られているものを証明したが、これは（スタークらと）完全に異なる方法で解かれている。n = 2 の場合はその少し後に、少なくとも原理的にはベイカーの成果の応用として研究が進められた<ref name=Baker>{{harvtxt|Baker|1990}}</ref>。

類数が 1 である虚二次体 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{k})</math> の完全なリストは、''k'' が以下のものである。
: <math>-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.</math>

一般の場合は、1976年の{{仮リンク|ドリアン・ゴールドフェルド|en|Dorian Goldfeld}}(Dorian Goldfeld)の発見を待つことになる。これは類数問題が[[楕円曲線]]の[[L-函数]]に関連するというものである<ref name=Goldfeld>{{harvtxt|Goldfeld|1976}}</ref>。これによって、有効な判別式の問題が、L-函数の多重零点の存在を確立する問題に還元される<ref name=Goldfeld/>。1986年、[[グロス・ザギヤの定理]]の証明によって、与えられた類数を持つ虚二次体の完全なリストは有限回の計算により確定できることがわかった。2004年にワトキンス(Watkins)は　''n'' = 100 以下のすべての場合についてリストを求めた<ref name=watkins/>。

==実二次体==
一方で'''実二次体'''の場合は全く異なり、ほとんど知られていない。この理由は、類数の解析的公式に入るものが自身の類数 ''h'' ではなく、 <math>h \log\epsilon</math> となるからである。ここで<math>\epsilon</math>は[[代数体#基本単数系|基本単数]]を意味する。この余剰な因子の制御が難しい。類数 1 の実二次体も無限個存在するのではないかと考えられている。

コーヘン・レンストラ(Cohen-Lenstra)のヒューリスティクス<ref>Cohen, ch. 5.10</ref>は、二次体の類数の構造についてのより詳細な一連の予想である。このヒューリスティクスは実数体について、素数の平方根を添加することで得られる体のうち約 75.446%が類数 1 となるという予想だが、結果は計算と一致する<ref>te Riele & Williams</ref>。

==参照項目==
* {{仮リンク|類数 1 の数体のリスト|en|List of number fields with class number one}}

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Citation
  | last = Goldfeld
  | first = Dorian
  |date=July 1985
  | title = Gauss' Class Number Problem For Imaginary Quadratic Fields
  | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
  | volume = 13
  | issue = 1
  | pages = 23–37
  | url = http://www.ams.org/bull/1985-13-01/S0273-0979-1985-15352-2/S0273-0979-1985-15352-2.pdf
  | format = [[PDF]]
  | doi = 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2}}
* {{citation | last=Heegner | first=Kurt | authorlink=Kurt Heegner | doi=10.1007/BF01174749|mr=0053135 | title=Diophantische Analysis und Modulfunktionen | journal=[[Mathematische Zeitschrift]] | volume=56 | issue=3 | year=1952 | pages=227–253}}
* {{Citation
  | last1 = te Riele
  | first1 = Herman
  | last2 = Williams
  | first2 = Hugh
  | year = 2003
  | title = New Computations Concerning the Cohen-Lenstra Heuristics
  | journal = Experimental Mathematics
  | volume = 12
  | issue = 1
  | pages = 99–113
  | url = http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/12/12.1/pp99_113.pdf
  | format = [[PDF]]
  | doi=10.1080/10586458.2003.10504715}}
* {{citation
  | last1 = Cohen  | first1 = Henri
  | title = A Course in Computational Algebraic Number Theory
  | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]]
  | location = Berlin
  | year = 1993
  | isbn = 978-3-540-55640-4}}
* {{Citation
  | last1=Baker
  | first1=Alan
  | title=Transcendental number theory
  | url=https://books.google.com/books?isbn=052139791X
  | publisher=[[Cambridge University Press]]
  | edition=2nd | series=Cambridge Mathematical Library
  | isbn=978-0-521-39791-9
  | mr=0422171
  | year=1990}}

==外部リンク==
* {{MathWorld|title=Gauss's Class Number Problem|urlname=GausssClassNumberProblem}}

{{デフォルトソート:るいすうもんたい}}
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:数学の問題]]
[[Category:数学のオープンプロブレム]]
[[Category:数学に関する記事]]