高度過剰数のソースを表示

'''高度過剰数'''（こうどかじょうすう、{{Lang-en-short|highly abundant number}}）は[[自然数]]で、 ''m'' < ''n'' である全ての[[自然数]] ''m'' に対して
:<math>\sigma(m) < \sigma(n)</math>
を満たす[[自然数]] ''n'' のことである。ただし σ は[[約数関数]]である。
具体的には
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[6]], [[8]], [[10]], [[12]], [[16]], [[18]], [[20]], [[24]], [[30]], [[36]], [[42]], [[48]], [[60]], [[72]], [[84]], [[90]], [[96]], [[108]],[[120]],[[144]],[[168]],[[180]],[[192]],... ({{OEIS|A002093}})

である。[[過剰数]]という名前を使っているが、すべての高度過剰数が[[過剰数]]とは限らない。特に最初の9つの高度過剰数のうち、 [[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[8]], [[10]], [[16]] は[[不足数]]、[[6]] は[[完全数]]であり[[過剰数]]ではない。[[12]] と [[18]] 以上の高度過剰数は全て[[過剰数]]である。

高度過剰数はPillaiによって定義され、AlaogluとErdősによって発展した。Alaoglu と Erdős は10<sup>4</sup>までの高度過剰数を表した。

例えば、5 は高度過剰数でない。なぜなら σ(5) = 5+1 = 6 となり 5 より小さな 4 が σ(4) = 4 + 2 + 1 = 7 となり σ(5) よりも大きいからである。8 は高度過剰数である。なぜなら σ(8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 となり 8 未満の数で σ(8) を上回る数は存在しないからである。

奇数の高度過剰数は [[1]] と [[3]] だけである。<ref>See {{harvtxt|Alaoglu|Erdős|1944}}</ref>

== 他の数との関連 ==
* [[1]] から [[8]] までの[[階乗]]は高度過剰数であるが、すべての[[階乗]]が高度過剰数であるというわけではない。例えば、
:&sigma;(9!) = &sigma;(362880) = 1481040,
:しかしこの数より小さな数でこの[[約数]]の和より大きな[[約数]]の和が存在する。
:&sigma;(360360) = 1572480,
:よって 9! は高度過剰数ではない。

* Alaoglu と Erdős はすべての[[超過剰数]]は高度過剰数であることを示した。そして[[超過剰数]]でない高度過剰数が無限に存在するであろうことを予想した。これはJean-Louis Nicolasによって正しいことが示された。

* 7200 は高度過剰数の中ではすべての素因数の指数部分が2以上の最も大きな[[多冪数]]である。(7200 = 2<sup>5</sup> × 3<sup>2</sup> × 5<sup>2</sup>) これより大きなすべての高度過剰数は独立した1つの素因数(指数部分が2以上でない素因数)をもつ。従って 7200 は[[約数]]の合計が[[奇数]]となる最大の高度過剰数である。<ref>{{harvtxt|Alaoglu|Erdős|1944}}, pp. 464–466.</ref>

== 脚注 ==
{{reflist}}
== 参考文献 ==
*{{cite journal
 | last1 = Alaoglu | first1 = L. | author1-link = Leonidas Alaoglu
 | last2 = Erdős | first2 = P. | author2-link = Paul Erdős
 | title = On highly composite and similar numbers
 | journal = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
 | volume = 56
 | year = 1944
 | pages = 448–469
 | mr = 0011087 
 | doi = 10.2307/1990319
 | issue = 3
 | jstor = 1990319
 | url = http://combinatorica.hu/~p_erdos/1944-03.pdf
 | ref = harv}}
*{{cite journal
 | last = Nicolas | first = Jean-Louis | authorlink = Jean-Louis Nicolas
 | title = Ordre maximal d'un élément du groupe ''S<sub>n</sub>'' des permutations et "highly composite numbers"
 | journal = Bull. Soc. Math. France
 | volume = 97
 | year = 1969
 | pages = 129–191
 | mr = 0254130 
 | url = http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__129_0
 | ref = harv}}
*{{cite journal
 | last = Pillai | first = S. S.
 | authorlink = Subbayya Sivasankaranarayana Pillai
 | title = Highly abundant numbers
 | journal = Bull. Calcutta Math. Soc.
 | volume = 35
 | year = 1943
 | pages = 141–156
 | mr = 0010560
 | ref = harv}}

== 関連項目 ==
* [[過剰数]]
* [[超過剰数]]

{{Divisor classes}}
{{デフォルトソート:こうとかしようすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:整数の類]]