高木曲線のソースを表示

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'''高木曲線'''（たかぎきょくせん、{{en|Takagi curve}}）は、中点を[[再帰的]]に分割してできる[[フラクタル]]曲線の一種である。[[高木貞治]]が[[1903年]]の論文で「[[連続]]だが至る所で微分不可能な関数」（高木関数）として構成した。

形状が洋菓子[[ブラン・マンジェ]]（ブラマンジェ）に類似していることから、'''ブラマンジェ曲線'''（Blancmange curve）とも呼ばれる。また、高木曲線を一般化した'''高木‐ランズバーグ曲線'''（Takagi–Landsberg curve）という名前でも知られている。{{仮リンク|ドラム曲線|en|de Rham curve}}の一種でもある。

== 定義 ==
高木関数は、[[単位区間]] <math>[0, 1]</math> 上で

:<math>{\rm T}(x) = \sum_{n=0}^\infty {s(2^{n}x)\over 2^n},</math>

により定義される。ここで、 <math>s(x)</math> は <math>s(x)=\min_{n\in{\mathbf Z}}|x-n|</math> により定義される[[三角波 (波形)|三角波]]関数（''triangle function''）である。すなわち、 <math>s(x)</math> は {{Mvar|x}} から最も近い[[整数]]までの距離を示す。

無限和で定義される <math>{\rm T}(x)</math> は、すべての {{Math|''x''}} に対し[[絶対収束]]する。しかし、結果としてできる曲線は[[フラクタル]]となる。

高木‐ランズバーグ曲線は、高木曲線の簡単な一般化であり、パラメータ {{Mvar|w}} に対して

:<math>T_w(x) = \sum_{n=0}^\infty w^n s(2^{n}x)</math>

により定義される。すなわち、高木曲線は <math>w=\frac{1}{2}</math> の場合に相当する。<math>H=-\log_2 w</math> で定義される値は'''Hurst parameter'''として知られている。ここで、 <math>w=\frac{1}{4}</math> とすると、[[放物線]]が得られる。中点を再帰的に分割して放物線を得る方法は[[アルキメデス]]により記述されている。

高木関数はすべての実数上に拡張できる。すなわち、上記の定義を各単位区間 <math>[n,\ n+1]</math> 上で繰り返せばよい。

==幾何的構成==
前述のように高木曲線は[[三角波 (波形)|三角波]]関数の無限和であり、その和の成分である各の三角波はどんどん小さくなるので、簡単に視覚化できる。すなわち、無限和を、最初の数項による有限和で近似すればよい。具体的に示したものが下記の図である。赤色で示されている三角波関数が段階的に小さくなっているが、それを各段階で曲線に加えている。操作的には、図の大きさに応じて変化が見られるうちはこれを繰返し、変化が見られなくなったら止めればよい。
{|
|[[Image:Blancmange-approx1.svg|192px]]||[[Image:Blancmange-approx2.svg|192px]]||[[Image:Blancmange-approx3.svg|192px]]||[[Image:Blancmange-approx4.svg|192px]]
|-
|align=center|''n'' = 0||align=center|''n'' ≤ 1||align=center|''n'' ≤ 2||align=center|''n'' ≤ 3
|}

==関連項目==
*[[カントール集合]]
*[[コッホ曲線]]

==参考文献==
* 高木貞治, 誘導函數ヲ有セザル連續函數ノ簡單ナル例, ''Tokyo Sugaku-Butsurigakkwai Hokoku'', (1901) Vol. 1, pp. 176-177. (Teiji Takagi, "A Simple Example of a Continuous Function without Derivative", ''Proc. Phys. Math. Japan'', (1901) Vol. 1, pp. 176-177.) [https://doi.org/10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176 doi:10.11429/subutsuhokoku1901.1.F176]
* Benoit Mandelbrot, "Fractal Landscapes without creases and with rivers", appearing in ''The Science of Fractal Images'', ed. Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe; Springer-Verlag (1988) pp. 243-260.

==外部リンク==
*{{Cite web|和書|url=http://www4.ocn.ne.jp/~arai/semi305/Takagi1.html |title=高木関数 (Animation : Takagi functions) |accessdate=2018-01-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20100807143904/http://www4.ocn.ne.jp/~arai/semi305/Takagi1.html |archivedate=2010-08-07}}
*{{Cite web|和書|url=http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/takagi/takagi.htm |title=いたるところ微分不可能な関数 |accessdate=2018-01-13 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20071107122633/http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/takagi/takagi.htm |archivedate=2007-11-07}}
*{{MathWorld|title=Blancmange Function |urlname=BlancmangeFunction }}
*{{Citation |first=Linas |last=Vepstas |date=2004-10-12 |title=Symmetries of Period-Doubling Maps |journal= |volume= |issue= |pages= |doi= |url=http://www.linas.org/math/chap-takagi.pdf |format=PDF |language=en}}
{{病的な関数の一覧}}
{{Mathanalysis-stub}}

{{DEFAULTSORT:たかききよくせん}}
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