魔六角陣のソースを表示

'''魔六角陣'''（まろっかくじん）は、[[魔方陣]]の[[六角形]]版で、左斜め・右斜め・横のいずれの方向の和も等しくなるように 1 から始まる連続した数字をあてはめたものである。
<gallery>
MagicHexagon-Order1.svg|大きさ1<br>和 = 1
MagicHexagon-Order3-a.svg|大きさ3<br>和 = 38
</gallery>

魔六角陣は、大きさ1のものと大きさ3のものの二つしか存在しない。また、鏡像・対称なものを除くと共に1種類しか数字の当てはめ方が存在しないことが知られている。

魔六角陣は多くの人によって再発見されている。現在判明している最も古い発見者はエルンスト・フォン・ハッセルベルグで、[[1887年]]に発表している。

== 証明 ==
魔六角陣の大きさが1と3のみであるという証明を以下に示す。

まず、各列の和を ''M'' とする。1辺が ''n'' である六角形に入る数字は 1～3''n''(''n''-1)+1 なので、入る数字の合計 ''s'' は
:<math>s={1\over{2}}(9n^4-18n^3+18n^2-9n+2)</math>
となる。列の数は 2''n''-1 なので ''M'' は
:<math>M={s\over{2n-1}}={9n^4-18n^3+18n^2-9n+2\over{2(2n-1)}}</math>
で表される。この式を変形すると
:<math>32M=72n^3-108n^2+90n-27+{5\over2n-1}</math>
この式の両辺は整数であるため、 5/(2''n''-1) は整数でなければならない。これが整数になるのは 2''n''-1 が 5 の約数であるときである。よって ''n''=1,3 である。

== 大きい六角陣 ==
魔六角陣は大きさ1と3のものしか作れないが、入れる数字の条件をゆるめて、必ずしも1から始まるのではない連続する整数をあてはめることにすれば、さらに大きいものを作ることができる。

Zahray Arsen は、この条件の変更により大きさ4以上の六角陣を作成している。以下に大きさ4,5の例を挙げる。
<gallery widths="200px" heights="200px">
MagicHexagon-Order4-2a.svg|大きさ4
MagicHexagon-Order5.svg|大きさ5
</gallery>
大きさ4のものは 3 から 39 までの数を用いて和を 111 にしている。大きさ5のものは 6 から 66 までの数を用いて和を 244 にしている。
<gallery widths="300px" heights="300px">
MagicHexagon-Order7.svg|大きさ7
</gallery>
2006年3月に Arsen は図のような大きさ7のものを発表している。この図は 2 から 128 までの数を用いて各列の和を 635 にしている。

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