鶴亀算のソースを表示

{{出典の明記|date=2011-01}}
'''鶴亀算'''（つるかめざん）とは、[[算数]]におけるある種の[[文章題]]の解き方で、[[ツル]]と[[カメ]]の頭数の合計と足の数の合計から、ツルとカメそれぞれの頭数を求める問題である。

鶴亀算における合計についての仮定を個数で割ることより、鶴亀算は[[平均算]]の一種である。さらに、平均算は[[消去算]]の特別な場合である。消去算は、[[中学校]]の[[数学 (教科)|数学]]で履修する[[線型方程式系|連立1次方程式]]そのものである。算数、特に[[中学受験]]では、消去法などを駆使せずに、面積図または弁償算で解くのが通例である。

== 歴史 ==
{{Double image aside|right|算法點竄指南録 問32.jpg|150|算法點竄指南録 表紙.jpg|150|[https://doi.org/10.20730/100365793 『算法點竄指南録』(九州大学中央図書館所蔵)]の表紙と問題32（鶴亀算）。}}
[[中国]]の数学書『[[孫子算経]]』にある「雉兎同籠」が始まりとされる。それが[[江戸時代]]の本『[[算法点竄指南録]]』（[[坂部広胖]]著）でおめでたい動物とされるツルとカメに置き換えられて、この名前になった<ref>
{{Cite book|和書|author=藤原松三郎|authorlink=藤原松三郎|year=1959|volume=第4巻|title=明治前 日本数学史|publisher=[[岩波書店]]| id = {{NDLDC|2421638|format=NDLJP}} | page = [{{NDLDC|2421638/32}} 55]
}}
</ref>。

== 例題 == 
ツルとカメが合わせて8匹、足の数が合わせて26本であるとき、ツルとカメは何匹（何羽）いるか。ただしツルの足は2本、カメの足は4本である。

=== 一般的な解法 ===
まず示された頭数すべてがツルであると仮定した場合の足の数を求め、そこから実際の足の数との差を計算し、その差をもとにカメの数を導き出す。この方法で例題を解くと、
#8匹すべてがツルであるとすると、足の数は全部で2×8=16本となる。
#これは実際の本数に比べて26-16=10本少ない。
#この10本の差を、ツルとカメを交換する操作によって補う（つまり、ツルを一羽ずつ減らし、カメを一匹ずつ増やしていく）。この操作を行う度に、ツルとカメの足の本数の差つまり4-2=2本ずつ、足の数が増える操作をすればいい。
#10本の差を埋めるには、10÷2=5回この操作をすればよい。
#すると8匹のうち5匹がカメに置き換わり、ツルは8-5=3匹が残る。
#したがって、ツルは3匹、カメは5匹となる。

=== 面積図を用いた解法 ===
[[画像:1mensekizu.jpg|frameless|300px|right|面積図]]
この問題は「長方形の面積が、たてとよこの積である」ということを利用して、[[面積図]]を使っても解ける<ref>{{Cite web|和書 |title=つるかめ算も濃度の問題も「面積図」で解ける 中学受験の算数のコツは、表を書き起こすこと |url=https://www.e-juken.jp/benkyo/sansu-mensekizu.html |website=中学受験情報局『かしこい塾の使い方』 |accessdate=2020-10-13}}</ref>。

縦を1匹の足の数、横を頭数、面積を足の数とする。
#2×8 = 16本
#26−16 = 10本
#4−2 = 2本
#10÷2 = 5匹
#8−5 = 3匹
答えは、ツルが3匹、カメが5匹となる。

== 中学校の数学科における鶴亀算 ==
鶴亀算は、[[中学校]]の[[数学]]における[[線型方程式系|2元連立1次方程式]]の特別な場合に当たる。一般に、''x''をツルの数、''y''をカメの数、''a''をツルとカメの個体数の総和、''b''を足の本数の総和とおくと、
*''x''+''y''=''a''
*2''x''+4''y''=''b''
という連立方程式になる。<!--変形によって<math>x = \frac{4a-b}{2},y = \frac{b}{2} - a</math>の式でも求められる。--><!--
ちなみに例題は、
*x+y=8
*2x+4y=26
もしくは
:<math>x = \frac{4 \times 8 - 26}{2},y = \frac{26}{2} - 8</math>
となり、答えがx=3、y=5で、ツルが3匹、カメが5匹となる。--><!--

== 複合例題（鶴亀トンボ算） ==
ツルと亀と[[トンボ]]がいる。頭の数が合計30個、足の数が118本あり、トンボの頭の数が亀の頭の数2倍よりも2個多いとき、ツルは何羽か。（トンボの足は6個である。）

=== 解法 ===
トンボを2頭分除くと、頭の数が28個，足の数が106本，トンボの頭の数が亀の頭の数の2倍となる。

亀とトンボの足の平均は (4+12)÷3 = 16／3

(28×16／3−106)÷(16／3−2) = 13

答えは13個となる。

== 複合例題（鶴亀トンボ算2） ==
ツルと亀とトンボがいる。頭の個数が合計30個、足の数が118本、羽の数が74本ある。このとき、ツル、亀、トンボはそれぞれいくついるか。

== 解法 ==
足と羽の合計は118+74 = 192(本)

ツルも亀も足と羽の合計は4本，トンボだけ10本であることから

(30×10−192)÷(10-4) = 18(個)……ツルと亀の頭の合計

30−18 = 12(個)……トンボの頭

74−4×12 = 26(枚)……ツルの羽

26÷2 = 13(個)……ツルの頭

18−13 = 5(個)……亀の頭

答えはツルが13、亀は5、トンボは12となる。 -->

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
* [[算数]] - [[特殊算]]
** [[平均算]]
** [[消去算]]
* [[和算]]・[[算額]]

== 外部リンク ==
* [http://www2.ttcn.ne.jp/~nagai/waseda/wasan/turu.pdf 鶴亀算の系譜]

{{DEFAULTSORT:つるかめさん}}
[[Category:算数]]
[[Category:数学に関する記事]]