黄金三角形のソースを表示

{{出典の明記|date=2025-01}}
[[File:Golden Triangle.svg|right|thumb|黄金三角形。a と b の比は黄金比φに等しい。]]

'''黄金三角形'''（おうごんさんかくけい、{{lang-en|Golden triangle}}）は、長辺と短辺の長さの比 <math>\frac{a}{b}</math> が[[黄金比]] <math>\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> となる[[二等辺三角形]]である<ref name="mathworld">{{MathWorld |title=Golden triangle |id=GoldenTriangle|accessdate=2025-01-27}}</ref>。

黄金三角形は、[[大星型十二面体]]や[[小星型十二面体]]の[[展開図]]に現われ、黄金グノモンは[[大十二面体]]の展開図に現れる。また、いずれも対角線を引いた[[正五角形]]や[[正十角形]]の中にも見出すことができる<ref name="mathworld"></ref>。

<gallery>
File:golden_triangle_decagon.svg|正十角形に含まれる黄金三角形。
File:golden_triangle_pentagram.svg|正五角形に対角線を引いてできる正[[五芒星]]に含まれる黄金三角形と黄金グノモン。
</gallery>

== 性質 ==
=== 角度 ===
黄金三角形の[[頂角]]の大きさは
:<math> \theta = {\pi \over 5} = 36^\circ. </math>
であり、左の長辺を延長することで以下のように求められる。
:<math> \theta = \pi - 2\arccos\left(\frac{b}{2a}\right) = \pi - 2\arccos\left(\frac{1}{2\varphi}\right) = \pi - \frac{4\pi}{5} = \frac{\pi}{5}. </math>
よって、黄金三角形は[[鋭角]]二等辺三角形であり、残りの2つの角は72度となる。黄金三角形は、3つの角の比が 2:2:1 となる唯一の三角形である。

=== 長さと面積 ===
黄金三角形の頂角から底辺に下ろした[[垂線]]の[[長さ]]{{math|''h''}}は、短辺の長さ{{math|''b''}}を用いて、
:<math>h = \frac{1}{2}b\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}</math>
と表されるため、黄金三角形の[[面積]]{{math|''S''}}は、
:<math>S = \frac{1}{4}b^2 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}</math>
と表すことができる<ref name="mathworld"></ref>。

黄金三角形の[[内接円]]の[[半径]]{{math|''r''}}は、
:<math>r = \frac{2S}{b(1 + 2\varphi)} = \frac{1}{2}b\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}</math>
である<ref name="mathworld"></ref>。

=== 対数螺旋 ===
[[File:Golden triangle and Fibonacci spiral.svg|right|thumb|黄金三角形は[[対数螺旋]]に内接する。]]

前述の通り、黄金三角形の角の比は 2:2:1 である。よって、72度である底角を2等分することで新しい黄金三角形を作ることができ、これを無限回繰り返してできた黄金三角形の頂点をつなぐことによって、[[対数螺旋]]を描くことができる<ref name="mathworld"></ref><ref name="H.Kinpara">{{Cite web|和書|url=http://www.ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/1697.pdf|title=黄金比・黄金二乗比および白銀比・白銀二乗比に基づく対数螺旋|author=金原博昭|accessdate=2025-01-27}}</ref>。

なお、[[対数螺旋#黄金螺旋|黄金螺旋]]とは異なり、黄金螺旋は90度の回転毎に黄金数倍大きくなるが、この対数螺旋は同じ分だけ大きくなるのに108度の回転を要する。すなわち、黄金螺旋は、
:<math>r = \left(\varphi^{\frac{2}{\pi}}\right)^\theta</math>
で表され、この対数螺旋は、
:<math>r = \left(\varphi^{\frac{5}{3\pi}}\right)^\theta</math>
で表すことができる<ref name="H.Kinpara"></ref>。

後述する黄金グノモンも同様に対数螺旋を描くことができ、
:<math>r = \left(\varphi^{2\frac{5}{2\pi}}\right)^\theta</math>
で表される<ref name="H.Kinpara"></ref>。

=== タイリング ===
非周期[[タイリング]]の一つである[[ペンローズ・タイル]]には、黄金三角形と黄金グノモン(ロビンソン三角形)が使われる<ref name="kumikiya">{{Cite web|和書|url=https://www.kumikiya.com/single-post/%E3%83%9A%E3%83%B3%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%82%BA%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%BB%B2%E9%96%93%E3%81%9F%E3%81%A1|title=ペンローズタイルの仲間たち|accessdate=2025-01-27}}</ref>。

P2型ペンローズ・タイルで使われるカイトという四辺形は二つの黄金三角形からなり、ダーツという四辺形は二つの黄金グノモンからなる。

P3型ペンローズ・タイルで使われる[[菱形]]は、細い菱形は二つの黄金三角形からなり、太い菱形は二つの黄金グノモンからなる。なお、いずれの菱形も[[黄金菱形]]とは異なるため、注意が必要である。

<gallery>
File:Kite Dart.svg|カイト(左)とダーツ(右)。
File:Penrose Tiling (Rhombi).svg|P3型ペンローズ・タイル。
</gallery>

== 黄金グノモン ==
[[File:Golden Gnomon.svg|right|thumb|黄金グノモン。等辺と底辺の比は黄金比の逆数1/φに等しい。]]

'''黄金グノモン'''（{{lang-en|Golden gnomon}}）は、等辺と底辺の比が黄金比の逆数<math>\frac{1}{\varphi} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}</math>となる二等辺三角形であり、黄金三角形と深い関連性を持つ。

=== 角度 ===
黄金グノモンの頂角の大きさは、
:<math> \theta = \frac{3\pi}{5} = 108^{\circ}.</math>
であり、黄金三角形と同様に次のように求められる。
:<math> \theta = \pi - 2\arccos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = \pi - \frac{2\pi}{5} = \frac{3\pi}{5}.</math>
よって、黄金グノモンは[[鈍角]]二等辺三角形であり、残りの2つの角は36度となる。黄金グノモンは、3つの角の比が 1:1:3 となる唯一の三角形である。

=== 長さと面積 ===
黄金グノモンの頂角から底辺に下ろした垂線の長さ{{math|''h{{'}}''}}は、底辺の長さ{{math|''b{{'}}''}}を用いて、
:<math>h' = \frac{1}{2}b'\sqrt{5 - 2\sqrt{5}}</math>
と表されるため、黄金グノモンの面積{{math|''S{{'}}''}}は、
:<math>h' = \frac{1}{4}b'^2 \sqrt{5 - 2\sqrt{5}}</math>
と表すことができる。

黄金グノモンの[[内接円]]の[[半径]]{{math|''r{{'}}''}}は、
:<math>r' = \frac{2S'}{b'(1 + \frac{2}{\varphi})} = \frac{1}{2}b'\sqrt{\frac{5 - 2\sqrt{5}}{5}}</math>
である。

=== 黄金三角形との関係 ===
* 黄金三角形の底角の一つを二等分すると、黄金三角形と黄金グノモンに分割することができ、[[自己相似]]性を持つ<ref name="mathworld"></ref>。
* 黄金グノモンの頂角を三等分すると、黄金三角形と二つの黄金グノモンに分割することができ、同様に自己相似性を持つ。
* 正五角形の一つの角を三等分する(対角線を引く)と、黄金三角形と二つの黄金グノモンに分割することができる。
* 黄金三角形と黄金グノモンはロビンソン三角形と呼ばれ<ref name="kumikiya"></ref>、それぞれ鋭角ロビンソン三角形と鈍角ロビンソン三角形と呼ばれることがある。

== 脚注 ==
<!--=== 注釈 ===-->
=== 出典 ===
{{reflist}}

==関連項目==
* [[ケプラー三角形]]
* [[黄金比]]
* [[黄金長方形]]
* [[五芒星]]
* [[ペンローズ・タイル]]

<!--==外部リンク==
* {{MathWorld |title=Golden triangle |id=GoldenTriangle}}-->

{{多角形}}
{{貴金属比}}
{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:おうこんさんかくけい}}
[[Category:三角形]]
[[Category:数学に関する記事]]