黄金比音律のソースを表示

[[ファイル:Golden_ratio_line.svg|サムネイル|黄金比の線分 （(A + B) / A = A / B = 1.618）。]]
[[ファイル:Stack_of_golden_ratio_intervals_in_Hz.png|サムネイル|400x400ピクセル| 黄金比（φ）の周波数間隔（(11.09 + 6.854)÷11.09 = 11.09÷6.854 = 1.618）。]]
[[ファイル:833_cents_scale_in_36-tet_on_C_one_cycle.png|サムネイル|350x350ピクセル| 36平均律表記での833セントのスケール。スラーは黄金比の関係になっているもの。]]
'''黄金比音律'''(おうごんひおんりつ)または'''833セントスケール'''は、833.09[[セント (音楽)|セント]]の[[音程]]の組み合わせで構成される音律であり、[[フィボナッチ数|フィボナッチ数列]]に基づく<ref name="Experiment">Bohlen, Heinz (last updated 2012). "[http://www.huygens-fokker.org/bpsite/833cent.html An 833 Cents Scale: An experiment on harmony]", ''Huygens-Fokker.org''.</ref>。[[黄金比]]は<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1.6180339887\ldots.</math> であり、この比を音程に換算すると833.09セント（ {{Audio|Golden ratio on C.mid|Play}}）に相当する。

== 導出 ==
[[ファイル:833_cents_scale_lattice_to_4_and_-3.png|サムネイル|ユニゾン（中央）、完全四度（左）、完全五度（右）の黄金比の格子]]
任意の2つの音高を選び、その高い方の音と選んだ音程の[[結合音]]で新たな音程を取る。次に、その音程で同じことを行う。これを繰り返すことで音程が833セントに近い値に[[極限|収束]]する<ref name="Experiment">Bohlen, Heinz (last updated 2012). "[http://www.huygens-fokker.org/bpsite/833cent.html An 833 Cents Scale: An experiment on harmony]", ''Huygens-Fokker.org''.</ref>。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!基本音程
!最も近い組み合わせ<br />トーン（比率）
!最も近い組み合わせ<br />トーン（セント）
|-
| 2：1
| 3：2
| {{Audio|Just perfect fifth on C.mid|701.955|help=no}}
|-
| 3：2
| 5：3
| {{Audio|Just major sixth on C.mid|884.359|help=no}}
|-
| 5：3
| 8：5
| {{Audio|Just minor sixth on C.mid|813.686|help=no}}
|-
| 8：5
| 13：8
| {{Audio|Tridecimal neutral sixth on C.mid|840.528|help=no}}
|-
| 13：8
| 21:13
| 830.253
|-
| 21:13
| 34:21
| 834.175
|-
| 34:21
| 55:34
| 832.676
|-
| 55:34
| 89:55
| 833.248
|-
| 89:55
| 144：89
| 833.030
|-
| 144：89
| 233：144
| 833.113
|-
| 233：144
| 377：233
| 833.081
|-
| 377：233
| 610：377
| 833.094
|-
| colspan="3" | ...
|}
例えば、 220 [[ヘルツ|Hz]]と220 Hzのユニゾンからは0 Hz（[[差音]]）と440 Hz（[[加音]]）の[[結合音]]が得られる。440 Hzは220 Hzの1オクターブ上の音である。続いて、220 Hzと440 Hzの加音は660 Hzの結合音であり、440 Hzの完全五度（3：2）上の音である。さらに、440 Hzと660 Hzから1,100 Hzの加音が得られ、1,100 Hzと660 Hzは長六度（5：3）の関係にある。同様にして1,760 Hzの加音を得て、1,100 Hzと短六度（8：5）の関係になっている。 どの音程から開始しても常に833セントに収束する<ref name="Experiment">Bohlen, Heinz (last updated 2012). "[http://www.huygens-fokker.org/bpsite/833cent.html An 833 Cents Scale: An experiment on harmony]", ''Huygens-Fokker.org''.</ref>。

833.09セントの間隔が決定されると、それらのスタックが生成される。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!トーン
|−5
| −4
| −3
| −2
| -1
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
| 5
|-
!セント
|634.55
| 267.64
| 1100.73
| '''733.82'''
| '''366.91'''
| '''0'''
| '''833.09'''
| '''466.18'''
| '''99.27'''
| 932.36
| 565.45
|-
!比率
|1.443
| 1.167
| 1.889
| 1.528
| 1.236
| 1.000
| 1.618
| 1.309
| 1.059
| 1.713
| 1.386
|-
!スケールステップ
|
|
|
| 6
| 3
| 0
| 7
| 4
| 1
| 8
| 15
|}
黄金比が[[無理数]]であることを考えると、正確なユニゾンまたはオクターブに戻ることはない。

== 黄金比音階 ==
Bohlenは、黄金比音程から対称的な[[七音音階]]として黄金比音階を記述している {{Audio|833 cents scale on C.mid|Play}}。
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!スケールステップ
| colspan="2" |0
| colspan="2" | 1
| colspan="2" | 2
| colspan="2" | 3
| colspan="2" | 4
| colspan="2" | 5
| colspan="2" | 6
| colspan="2" | 7
| colspan="2" | ...
|-
!セント
| colspan="2" |00.00
| colspan="2" | 99.27
| colspan="2" | 235.77
| colspan="2" | 366.91
| colspan="2" | 466.18
| colspan="2" | 597.32
| colspan="2" | 733.82
| colspan="2" | 833.09
| colspan="2" | ...
|-
!ステップ幅
|
| colspan="2" |99.27
| colspan="2" | 136.5
| colspan="2" | 131.14
| colspan="2" | 99.27
| colspan="2" | 131.14
| colspan="2" | 136.5
| colspan="2" | 99.27
| colspan="2" | ...
|
|-
!積み上げ<math>\varphi</math>トーン
| colspan="2" |0
| colspan="2" | 3
| colspan="2" |
| colspan="2" | -1
| colspan="2" | 2
| colspan="2" |
| colspan="2" | −2
| colspan="2" | 1
| colspan="2" | ...
|}
[[ファイル:833_cents_scale_generator_circle_w_P5_and_P4_bnw_7.png|サムネイル|ユニゾン、完全四度、完全五度の13の黄金比の3つのスタック]]
この構成の仕方は、[[五度圏]]上の積み重ね（FCGDAEB = CDEFGAB）による[[長音階]]の導出に相当する。


{| class="wikitable" style="text-align:center"
!ステップ
!比
!周波数比
!セント
!セント幅
!音声
|-
| rowspan="2" |'''0'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.0000'''
| rowspan="2" |'''0'''
|
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|Unison on C.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |{{Overline|99.27}}
|-
| rowspan="2" |1
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|4}}|4<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.0590'''
| rowspan="2" |'''99.27'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 1.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |136.50
|-
| rowspan="2" |2
| rowspan="2" |{{frac|3<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|3}}}}
| rowspan="2" |1.1459
| rowspan="2" |235.77
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 2.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |131.14
|-
| rowspan="2" |'''3'''
| rowspan="2" |{{frac|2<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|2}}}}
| rowspan="2" |'''1.2361'''
| rowspan="2" |'''366.91'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 3.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |99.27
|-
| rowspan="2" |4
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|3}}|2<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.3090'''
| rowspan="2" |'''466.18'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 4.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |131.14
|-
| rowspan="2" |5
| rowspan="2" |⁄<sub>3/<sup>3</sup></sub>
| rowspan="2" |1.4120
| rowspan="2" |597.32
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 5.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |136.50
|-
| rowspan="2" |'''6'''
| rowspan="2" |{{frac|4<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|3}}}}
| rowspan="2" |1.5279
| rowspan="2" |733.82
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 6.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |{{Underline|99.27}}
|-
| rowspan="2" |'''7 (0)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|2}}|<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |1.6180
| rowspan="2" |833.09
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 7.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |{{Overline|99.27}}
|-
| rowspan="2" |'''8 (1)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|5}}|4<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |1.7135
| rowspan="2" |932.36
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 8.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |136.50
|-
| rowspan="2" |9 (2)
| rowspan="2" |{{frac|3<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|2}}}}
| rowspan="2" |1.8541
| rowspan="2" |1,068.86
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 9.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |131.14
|-
| rowspan="2" |'''10 (3)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.0000'''
| rowspan="2" |'''0'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|Perfect octave on C.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |99.27
|-
| rowspan="2" |'''11 (4)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|4}}|4<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.0590'''
| rowspan="2" |'''99.27'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 11.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |131.14
|-
| rowspan="2" |12 (5)
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>|{{sfrac|6<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|4}}}}}}
| rowspan="2" |1.1424
| rowspan="2" |230.41
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 12.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |136.50
|-
| rowspan="2" |'''13 (6)'''
| rowspan="2" |{{frac|2<math>\varphi</math>|<math>\varphi</math>{{sup|2}}}}
| rowspan="2" |'''1.2361'''
| rowspan="2" |'''366.91'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 13.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |{{Underline|99.27}}
|-
| rowspan="2" |'''14 (0)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|3}}|2<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |'''1.3090'''
| rowspan="2" |'''466.18'''
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 14.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |{{Overline|99.27}}
|-
| rowspan="2" |'''15 (1)'''
| rowspan="2" |{{frac|<math>\varphi</math>{{sup|6}}|8<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |1.3863
| rowspan="2" |565.45
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|833 cents scale step 15.mid|Play}}
|-
| rowspan="2" |136.50
|-
| rowspan="2" |16 (2)
| rowspan="2" |{{frac|3<math>\varphi</math>|2<math>\varphi</math>}}
| rowspan="2" |1.5
| rowspan="2" |701.96
| rowspan="2" |{{Audio-nohelp|Compound just perfect fifth on C.mid|Play}}
|-
|
|-
| colspan="6" |...
|}
黄金比音階には、1オクターブあたり0.83333×12ステップ（約10ステップ）が含まれる<ref name="Self-Similarity">Pareyon, Gabriel (2011). ''On Musical Self-Similarity'', p.398. {{ISBN2|9789525431322}}.</ref>。また、黄金比音律は[[平均律|36平均律]]を用いることで近似でき、この近似においては36平均律に12平均律が内包されているという利点がある<ref name="Xen">"[https://en.xen.wiki/w/833_Cent_Golden_Scale_(Bohlen) 833 Cent Golden Scale (Bohlen)]", ''Xenharmonic Wiki''.</ref>。 

== 関連項目 ==
* [[ケプラー三角形]]
* [[ジップの法則]]

== 脚注 ==
<references />

== 外部リンク ==
* "[https://web.archive.org/web/20071028075125/http://www.ptank.com/catsynth/index.php?m=09&y=06&d=22&entry=entry060922-151816 Fun with Emulator X: Bohlen 833 cents scale and harmonics]", ''CatSynth''.
* "[https://en.xen.wiki/w/Golden_Ratio Golden Ratio]", ''Xenharmonic Wiki''.

{{Music-stub}}
{{DEFAULTSORT:おうこんひおんりつ}}
[[Category:音律]]
[[Category:調律]]
[[Category:HAudioマイクロフォーマットがある記事]]