黄金菱形のソースを表示

{{出典の明記|date=2025-01}}
[[File:GoldenRhombus.svg|right|thumb|黄金菱形。対角線の比が黄金比φとなる。]]

'''黄金菱形'''（おうごんひしがた、{{lang-en|Golden rhombus}}）は、長い対角線と短い対角線の長さの比 <math>\frac{D}{d}</math> が[[黄金比]] <math>\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}</math> となる[[菱形]]である<ref name="mathworld">{{MathWorld |title=Golden rhombus |id=GoldenRhombus|accessdate=2025-01-28}}</ref>。

黄金菱形は、[[黄金長方形]]の各辺の中点を結んでできる[[ヴァリニョンの定理|ヴァリニョンの平行四辺形]]であり、いくつかの[[多面体]]の面にも見られる。なお、[[ペンローズ・タイル]]に用いられる菱形は[[黄金三角形]]を二つ組み合わせたものであり、黄金菱形とは異なる点に注意が必要である。

== 性質 ==
=== 角度 ===
黄金菱形の[[鋭角]]である内角の大きさは、[[対角線]]で分割された三角形に注目することで、
:<math>\theta = 2\arctan\frac{1}{\varphi} = \arctan\frac{\frac{2}{\varphi}}{1-\left(\frac{1}{\varphi}\right)^2} = \arctan\frac{\frac{2}{\varphi}}{\frac{1}{\varphi}} = \arctan 2</math>
と求められ、
:<math>\theta \approx 63.43495^\circ</math>
である<ref name="mathworld"></ref>。（{{OEIS|A105199}}）

同様に、[[鈍角]]である内角の大きさは、
:<math>\theta = 2\arctan\varphi = \pi - \arctan 2</math>
と求められ、
:<math>\theta \approx 116.56505^\circ</math>
である<ref name="mathworld"></ref>。（{{OEIS2C|A137218}}）この角度は、[[正十二面体]]の[[二面角]]に等しい。

=== 長さと面積 ===
黄金菱形の辺の長さ{{math|''a''}}は、短い対角線の長さ{{math|''d''}}を用いて、
:<math>a = \sqrt{\frac{d^2 + (d\varphi)^2}{4}} = \frac{1}{2}d\sqrt{2 + \varphi} = \frac{1}{4}d\sqrt{10 + 2\sqrt{5}} \approx 0.95106d</math>
と表される。したがって、対角線の長さ{{math|''D,d''}}は、辺の長さ{{math|''a''}}を用いて、
:<math>d = \frac{2a}{\sqrt{2 + \varphi}} = 2a\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{10}} = \sqrt{2 - \frac{2}{\sqrt{5}}}a \approx 1.05146a</math>
:<math>D = \frac{2\varphi a}{\sqrt{2 + \varphi}} = 2a\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}} = \sqrt{2 + \frac{2}{\sqrt{5}}}a \approx 1.70130a</math>
と表すことができる<ref name="mathworld"></ref>。（{{OEIS|A179290}}，{{OEIS2C|A121570}}）

黄金菱形の面積{{math|''S''}}は、短い対角線の長さ{{math|''d''}}を用いて、
:<math>S = \frac{\varphi}{2}d^2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}d^2 \approx 0.80902d^2</math>
と表される。また、辺の長さ{{math|''a''}}を用いて、菱形の面積の公式及び[[三角関数]]と[[逆三角関数]]の[[合成関数]]の公式より、
:<math>S = (\sin(\arctan 2))a^2 = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}}a^2 = \frac{2}{\sqrt{5}}a^2 \approx 0.89443a^2</math>
と表すことができる<ref name="mathworld"></ref>。

黄金菱形の[[内接円]]の[[半径]]の長さ{{math|''r''}}は、辺の長さ{{math|''a''}}を用いて、
:<math>r = \frac{a}{\sqrt{5}}</math>
と表される<ref name="mathworld"></ref>。

=== タイリング ===
前述の通り、非周期[[タイリング]]の一つである[[ペンローズ・タイル]]に用いられる菱形も黄金比に関連するが、これは[[黄金三角形]]を二つ組み合わせた菱形であり、黄金菱形とは異なる。ペンローズ・タイルに用いられる菱形の内角は、36度および144度、もしくは108度および72度である。

しかし、周期タイリングであれば、黄金菱形と白銀二乗菱形（黄金菱形の定義と同様に、対角線の比が[[白銀比]]の二乗1:2である菱形）を用いて形成することができる<ref name="H.Kinpara">{{Cite web|和書|url=https://www.orion-metaphysics.com/wp-content/uploads/2012/04/c5554ce3220d3415822d8967c2d8e7644.pdf|title=黄金菱形と白銀二乗菱形による平面充填（タイル貼り）|author=金原博昭|accessdate=2025-01-28}}</ref>。黄金菱形の鈍角二つと白銀二乗菱形の鈍角一つの和は360度であり、黄金菱形の鋭角四つと白銀二乗菱形の鋭角二つの和も360度となるためである。

== 多面体 ==
黄金菱形は、いくつかの多面体を形成する<ref name="mathworld"></ref>。黄金菱形を持つ[[凸多面体]]は、{{仮リンク|扁長黄金菱形六面体|en|Trigonal trapezohedron#Special cases}}、{{仮リンク|扁平黄金菱形六面体|en|Trigonal trapezohedron#Special cases}}、[[菱形十二面体第2種]]、[[菱形二十面体]]、[[菱形三十面体]]の五つのみであるが、黄金菱形を持つ[[凹多面体]]は{{仮リンク|菱形六十面体|en|Rhombic hexecontahedron}}など無数に存在する。[[菱形十二面体]]を形成する菱形は、白銀菱形である<ref name="H.Kinpara 2">{{Cite web|和書|url=https://www.orion-metaphysics.com/wp-content/uploads/2012/03/d3c00983879bee395bae3858c9f187e6.pdf|title=大ピラミッド・ペンタグラム二十面体およびピラミッド・ペンタグラム三十面体の創作|author=金原博昭|accessdate=2025-01-28}}</ref>。

特に、黄金菱形を面に持つ五つの凸多面体は、[[ゾーン多面体#黄金ゾーン多面体|黄金等稜ゾーン多面体]]と呼ばれ、これら五つの多面体によって非周期的に[[空間充填]]することが可能であり、その二次元投影図がペンローズ・タイルとなる{{要出典|date=2025-01-29}}。

<gallery>
File:Acute_golden_rhombohedron.png|{{仮リンク|扁長黄金菱形六面体|en|Trigonal trapezohedron#Special cases}}
File:Flat_golden_rhombohedron.png|{{仮リンク|扁平黄金菱形六面体|en|Trigonal trapezohedron#Special cases}}
File:Bilinski dodecahedron.png|[[菱形十二面体第2種]]
File:Rhombic icosahedron.png|[[菱形二十面体]]
File:Rhombictriacontahedron.svg|[[菱形三十面体]]
File:Rhombic hexecontahedron.png|{{仮リンク|菱形六十面体|en|Rhombic hexecontahedron}}
</gallery>

また、黄金菱形の鈍角は正十二面体の二面角に等しく、黄金二乗菱形の鈍角は[[正二十面体]]の二面角に等しいことが知られ、白銀菱形の鈍角は[[正八面体]]の二面角に等しいことが知られている<ref>{{Cite web|和書|url=https://ikuro-kotaro.sakura.ne.jp/koramu/985_r3.htm|title=菱形多面体（その３）|accessdate=2025-01-28}}</ref>。

== 脚注 ==
<!--=== 注釈 ===-->
=== 出典 ===
{{reflist}}

==関連項目==
* [[黄金比]]
* [[黄金長方形]]
* [[黄金三角形]]
* [[ゾーン多面体]]

{{多角形}}
{{貴金属比}}
{{Elementary-geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:おうこんひしかた}}
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:多角形]]