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{{独自研究|date=2016年2月}} '''{{math|0}} の {{math|0}} 乗'''（れいのれいじょう）は、[[累乗]]あるいは[[指数関数]]において、底を {{math|0}}、指数を {{math|0}} としたものである。その値は、[[代数学]]、[[組合せ論]]などの文脈では通常 {{math|1}} と定義される<ref group="注">[[Lp空間#p = 0 の場合|{{math|0}} と定義される場合]]もある。</ref>一方で、[[解析学]]の文脈では二変数関数 {{mvar|x<sup>y</sup>}} が原点 {{math|1=(''x'', ''y'') = (0, 0)}} において連続とならないため定義されない場合もある。 == 背景 == 実数 {{mvar|x}} の[[冪乗|正整数 {{mvar|n}} 乗]]は、素朴には、{{mvar|n}} 個の {{mvar|x}} を掛け合わせたものである。厳密には、次のように[[再帰的定義|再帰的]]に定められる。 :<math>\begin{align} &(*)&x^1 &:= x, \\ &(**)&x^{n+1} &:= x^n \times x \quad (n \ge 1). \end{align}</math> {{math|''x''<sup>0</sup>}} を定義する場合には、関係式 <math>(**)</math> が {{math|''n'' {{=}} 0}} でも成立するように定義を拡張するのが自然である。 そこで、<math>(**)</math> に無理やり {{math|1=''n'' = 0}} を代入すれば、{{math|''x''<sup>0 + 1</sup> {{=}} ''x''<sup>0</sup> × ''x''}} すなわち {{math|''x'' {{=}} ''x''<sup>0</sup> × ''x''}} となり、[[ゼロ除算|{{mvar|x}} が {{math|0}} でなければ]]両辺を {{mvar|x}} で割って {{math|''x''<sup>0</sup> {{=}} 1}} を得る。すなわち、{{math|1=''x'' ≠ 0}} の場合は、{{math|1=''x''<sup>0</sup> {{coloneqq}} 1}} と定めることで、関係式 <math>(**)</math> が <math>n \ge 0</math> に対して成り立つように定義を拡張できる<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} のときは {{math|1=0 = 0<sup>0</sup> × 0}} となってしまうため、{{math|0<sup>0</sup>}} は任意の値で等式が成り立ち、この方針で {{math|0<sup>0</sup>}} を「自然」に定義することはできない。</ref>。さらに負の整数 {{math|−''n''}} に対しても {{math|1=''x''<sup>−''n''</sup> {{coloneqq}} 1/''x''<sup>''n''</sup>}} と定義すれば <math>(**)</math> が満たされ、 {{math|1=''x'' ≠ 0}} の整数乗がうまく定義されて、[[指数法則]] {{math|1=''x''<sup>''n'' + ''m''</sup> = ''x''<sup>''n''</sup> ''x''<sup>''m''</sup>}} や {{math|1=''x''<sup>''nm''</sup> = (''x''<sup>''n''</sup>)<sup>''m''</sup>}} が任意の整数 {{math|''n'', ''m''}} に対して成立する。<!-- ところが、{{math|''n'' {{=}} 0}} の場合に {{math|''x'' {{=}} 0}} に対して上式を形式的に当てはめても {{math|''x'' {{=}} ''x''<sup>0</sup> × ''x''}} は {{math|1=0 = 0<sup>0</sup> × 0}} となってしまうため、{{math|0<sup>0</sup>}} がどんな値であっても両辺とも {{math|0}} で等式が成り立ち、形式的に {{math|''n'' {{=}} 0}} の場合に (*) を拡張するやり方で {{math|''x'' {{=}} 0}} に対する {{ ''x''<sup>0</sup>}} 乗の値を定めることはできない。一方で関数 {{math|''x''<sup>0</sup>}} の連続性を要請すれば、{{math|1=''x'' ≠ 0}} のときに {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} なのだから {{math|1=''x'' = 0}} のときも {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} として {{math|1=''x'' = 0}} でも連続となるように定義するのが自然であるとも考えられる。実際、[[#1と定義する考え方|後述]]のように、{{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} という定義が便利な場面も多い。この考えの延長上に任意の[[空積]]（「0個の数の積」）を {{math|1}} と定める考え方がある。 --> 次に、指数が[[実数]]の場合を考えよう。底が {{math|1=''x'' ≠ 0}} の場合は、上述のように整数乗が定まるのであった。<!-- 正の実数 {{mvar|x}} と正の整数 {{mvar|m}} に対し、{{mvar|m}} 乗して {{mvar|x}} になる正の実数 {{mvar|x}} が唯一つ存在する。そこで {{math|1=''x'' ≥ 0}} と有理数 {{math|''n''/''m''}}（ただし {{math|''n'', ''m'' は[[互いに素]]な整数で {{math|''m'' > 0}}）に対し、{{mvar|x}} の {{math|''n''/''m''}} 乗を、{{mvar|''m''}} 乗して {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} になる唯一の正の実数として定めることができ、このように拡張しても指数法則は成り立ったままである。さらに、実数 {{mvar|α}} に対しては、{{mvar|α}} に収束する任意の有理数列 (''a<sub>n</sub>'')<sub>''n''</sub> を取り、{{math|''x''<sup>''α''</sup>}} を {{math|''x''<sup>''a<sub>n</sub>''</sup>}} の極限として連続性を担保する形で矛盾なく定めることができる。 -->詳細は省略するが、底を {{math|1=''x'' > 0}} の場合に制限すれば、[[指数法則]]が成り立ったまま指数を有理数、さらには実数へと拡張し、連続な[[二変数関数]]を得ることができる。また、{{math|1=''x'' = 0}} の場合に対する正の実数乗も、同様に連続性を理由として {{math|0}} と定義することができる。 すなわち実数の実数乗 {{math|1=''x''<sup>''y''</sup>}} は、底が {{math|1=''x'' ≠ 0}} で指数 {{mvar|y}} が整数であるか、底が {{math|1=''x'' > 0}} であるか、あるいは底が {{math|1=''x'' = 0}} で指数が {{math|1=''y'' > 0}} であればうまく定義でき、これら全ての点 {{math|(''x'', ''y'')}} で二変数関数として連続となる。しかし、{{math|1=''x''<sup>''y''</sup>}} は底が {{math|1=''x''= 0}} のとき、指数が負の実数であればうまく定義できず、どのように {{math|0<sup>0</sup>}} を定義しても点 {{math|(0, 0)}} で二変数関数として連続にはならない。言い換えれば、{{math|0<sup>0</sup>}} を {{mvar|x<sup>y</sup>}} が連続となるように定めることはできないのである。 == 1と定義される場合 == 非負整数の指数のみを扱っている場合には、{{math|0}}の{{math|0}}乗は {{math|1}} と定義されることが多い。その理由としては、以下のようなものが挙げられる。 *実数 {{math|''x''}} を数直線上の線型変換とみなす場合、非負整数 {{math|''n''}} に対する実数 {{math|''x''}} の {{math|''n''}} 乗は {{math|''x''}} に対応する線型変換を {{math|''n''}} 回繰り返し作用させる線型変換に対応するから、{{math|0}} の {{math|0}} 乗には、自明な線型変換を {{math|0}} 回作用させる線型変換である恒等変換（実数 {{math|1}} に対応する）が対応すると考えたい。 *上述のように、{{math|''x'' ≠ 0}} のとき {{math|1=''x''<sup>0</sup> = 1}} であるから、関数 {{math|1=''x''<sup>0</sup>}} の連続性を担保する為に、{{math|1=''x'' = 0}} のときにも同じ式の成立を要請する（[[空積]]も参照）。 *{{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} と定義しておくと、種々の公式や証明で記述が煩雑になったり余計な場合分けをすることを防ぐことができる。 例えば、計算機科学者の[[ドナルド・クヌース]]は、{{math|0<sup>0</sup>}} は {{math|1}} でなければならないと強く主張している{{sfn|Knuth|1992}}。彼によると「{{math|0<sup>''x''</sup>}} という関数は数学的意義に乏しいのに対し、{{math|''x''<sup>0</sup>}} は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という{{sfn|グレアム|パタシュニク|クヌース|1993}}。例えば、[[二項定理]]の公式 :<math>(1+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k</math> は、（第 0 項について和の記法に例外を設けない限り）{{math|0<sup>0</sup> {{=}} 1}} としたときのみ {{math|''x'' {{=}} 0}} に対して適用可能になる。同様の例として、[[指数関数]]の定義式 :<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}</math> が {{math|''x'' {{=}} 0}} でも妥当であるためには {{math|0<sup>0</sup> {{=}} 1}} である必要がある。{{math|0<sup>0</sup>}} を定義しない文脈においては :<math>e^{x} = 1 + \sum^{\infin}_{n=1} \frac{x^n}{n!}</math> と定義しなければならない。一般に[[多項式]] {{math|Σ{{subsup||''k'' {{=}} 0|''n''}} ''a''<sub>''k''</sub> ''x''<sup>''k''</sup>}} や[[冪級数]] {{math|Σ{{subsup||''k'' {{=}} 0|∞}} ''a''<sub>''k''</sub> ''x''<sup>''k''</sup>}} に {{math|1=''x'' = 0}} を代入する場合にも、{{math|0}}の{{math|0}}乗は {{math|1}} とされる<!--<ref group="注">ただし、{{math|Σ{{subsup||''k'' {{=}} 0|''n''}} ''a''<sub>''k''</sub> ''x''<sup>''k''</sup>}} を {{math|''a''<sub>0</sub> + ''a''<sub>1</sub>''x'' + … + ''a''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}} の略記であると定義するか、あるいは（この場合には実質的には同じことであるが）{{math|''x''<sup>0</sup>}} を {{math|1}} の別表記であると考えれば、{{math|0}}の{{math|0}}乗は現れない。変数（あるいは不定元）の {{math|0}} 乗が現れる他の例でも同様。</ref>-->。 また他にも、[[微分]]の公式 {{math|1=(''d''/''dx'')''x''<sup>''n''</sup> = ''nx''<sup>''n''−1</sup>}} を {{math|1=''n'' = 1}} に対しても適用するには、{{math|0<sup>0</sup> {{=}} 1}} としなければならない。 === モノイド論における扱い === [[半群]] {{math|''S''}} の元 {{math|''a''}} の冪、すなわち {{math|''n''}} を正の整数としたときの {{math|''a''<sup>''n''</sup>}} は {{math|''n''}} 個の {{math|''a''}} の積として定義される<ref group="注">この定義は半群における積の[[結合法則|結合性]]より意味を持つ。</ref>。さらに {{math|''S''}} が[[モノイド]]のとき（すなわち単位元 {{math|1}} をもつとき）、{{math|1=''a''<sup>0</sup> = 1}} と定義される{{sfn|Grillet|1995|p={{google books quote|id=yM544W1N2UUC|page=6|6}}}}<ref group="注">さらに {{mvar|a}} が逆元を持つならば、それを {{math|''a''<sup>−1</sup>}} と表記し、負の整数 {{math|−''n''}} に対して {{math|1=''a''<sup>−''n''</sup> = (''a''<sup>−1</sup>)<sup>''n''</sup>}} と表記する。</ref>。とくに {{math|''S''}} が零元 {{math|0}} ももつならば {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} である<ref group="注">整数の全体や実数の全体など、あるいは一般に単位元を持つ[[結合環]]は、乗法について零元を持つモノイドをなす。</ref>。 === 集合論における扱い === {{math|0<sup>0</sup>}} における {{math|0}} を2つとも[[基数]]、あるいは2つとも[[順序数]]と考えた場合、{{math|0<sup>0</sup> {{=}} 1}} は基数あるいは順序数の冪の定義から示すことのできる定理である。 以下基数の場合について解説する。一般に基数 {{mvar|κ}}, {{mvar|λ}} に対して、冪乗 {{mvar|λ<sup>κ</sup>}} は、[[濃度 (数学)|濃度]] が {{mvar|κ}}, {{mvar|λ}} の任意の集合をそれぞれ {{math|''X'', ''Y''}} としたとき、{{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への[[写像]]の個数（濃度）で定義される： :<math>\lambda^\kappa:=\#Y^X.</math> ここで、{{math|''Y''<sup>''X''</sup>}} は {{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への[[写像]]全体の集合であり、{{math|#}} は集合の濃度を表す。（この定義は {{mvar|X}} と {{mvar|Y}} の[[well-defined|取り方に依らない]]ことに注意。）しかるに、{{math|0<sup>0</sup>}} は {{math|1=''X'' = ''Y'' = ∅}} の場合に相当するから、<math>0^0=\#\emptyset^\emptyset</math> である。ここで、{{math|∅}} から {{math|∅}} への写像は唯一つ存在するから（[[空写像]]）、<math>\#\emptyset^\emptyset=1</math> である。したがって {{math|1=0<sup>0</sup> = 1}} である<ref>{{cite book |author=N. Bourbaki |author-link=ニコラ・ブルバキ |title=Theory of Sets |series=[[数学原論|Elements of Mathematics]] |year=2004 |page={{google books quote|id=7eclBQAAQBAJ|page=164|164}} |publisher=[[Springer]] |isbn=978-3-540-22525-6 }}</ref><ref>{{cite book |author=Daniel W. Cunningham |title=Set Theory: A First Course |year=2016 |pages={{google books quote|id=S1GJDAAAQBAJ|page=59|59}}, {{google books quote|id=S1GJDAAAQBAJ|page=221|221}} |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-107-12032-7 }}</ref>。 == 定義されない場合 == {{math|''x''}} が 0 以外の[[複素数]]であるとき {{math|''x''<sup>0</sup> {{=}} 1}} であるという理由で、0の0乗 "{{math|''0''<sup>0</sup>}}" を 1 と定めることが自然（連続な拡張）だと考えることと、{{mvar|y}} が正の実数のとき {{math|0<sup>''y''</sup> {{=}} 0}} であるという理由で、0の0乗 "{{math|''0''<sup>0</sup>}}" を 0 と定めることが同程度に自然（連続な拡張）だとは言えまい。とは言え、このように連続性を指針とする場合には、こちらを立てればあちらが立たず、という状況であり、全てに都合の良い定め方は存在しない。さらにもし[[複素関数]]を考えるのであれば、そもそも解析性を担保する定義は存在せず、値を別途定める他はない。 === 実解析における扱い === [[ファイル:X^y.png|right|thumb|300px|関数 ''z'' = ''x''<sup>''y''</sup> をプロットしたもの。''x'' と ''y'' が様々な関係を保って原点に接近するとき（赤や緑の曲線）、''z'' は任意の極限値をとり得る。緑の曲線は、そのうちで ''z'' の極限が 1 となるものである。]] 冪を自然数ではなく実数の範囲で考え、{{math|0<sup>0</sup>}} を二変数関数 {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} の {{math|1=''x'' = ''y'' = 0}} における値だと考えると、次のようになる。 二変数関数 {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} は、定義域を {{math|1=''D'' = { (''x'', ''y'') {{!}} ''x'' > 0 } ∪ { (0, ''y'') {{!}} ''y'' > 0 } }}とした場合には、{{mvar|D}} 全体で連続となる。しかし、原点 {{math|(0, 0)}} を付け加えて、{{math|1=''D''′= ''D'' ∪ {{(}}(0, 0){{)}}}} を定義域とした場合には、原点における値 {{math|0<sup>0</sup>}} をどのように定義しても、原点において連続とはならない。それは、{{math|''D'''}} 内で（原点を通らず）原点に近づく経路によってその極限値が異なるからである。例えば、''y'' 軸 ({{math|''x'' {{=}} 0}}) に沿って原点に近づくときの極限値は :<math>\lim_{y\to+0} 0^y=0</math> であるが、''x'' 軸 ({{math|''y'' {{=}} 0}}) に沿って原点に近づくときの極限値は :<math>\lim_{x\to+0} x^0=1</math> である<ref group="注">ここに、{{math|''x'' → +0}} は ''x'' が正の方向から 0 に近付くことを表す。なお、負の数 ''y'' に対して 0<sup>''y''</sup> は定義されない。</ref>。画像はこの二変数関数 {{math|1=''z''(''x'', ''y'') = ''x''<sup>''y''</sup>}} のグラフであり、原点に近づくときの経路によって異なる極限値を持つことが見て取れる。関数の連続性を重視する観点からは、{{math|0<sup>0</sup>}} をどのような値にすることもできない。 また {{math|0<sup>0</sup>}} という記号によって、関数 {{math|''f''(''x'')}} と {{math|''g''(''x'')}} の（{{mvar|x}} がある有限値に向かう、あるいは {{math|±∞}} に向かうときの）極限が共に {{math|0}} であるときの、{{math|''f''(''x'')<sup>''g''(''x'')</sup>}} の極限を考えていることを表すことがある。このとき {{math|0<sup>0</sup>}} はいわゆる{{仮リンク|不定形|en|Indeterminate form}}、すなわちこの {{math|''f''(''x'')<sup>''g''(''x'')</sup>}} の極限は一定しないのであって、実際任意の非負の実数値や {{math|+∞}} にもなりうるし、振動することもある。例えば、 :<math>\begin{array}{cl} \displaystyle\lim_{x \to 0^+} {x}^{x} &= 1, \\ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{x^2}}\right)^x &= 0, \\ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{x^2}}\right)^{-x} &= +\infty, \\ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{x}}\right)^{ax} &= e^{-a} \end{array}</math> （ここで {{mvar|a}} は任意の実数）となり、また :<math>\lim_{x \to 0^+} \left(e^{-\frac{1}{x^2}}\right)^{{x\sin\frac{1}{x}}}</math> は振動する。ここで、{{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} は {{mvar|x}} が[[片側極限|正の方向から {{math|0}} に近づく極限]]を表す。 極限が 1 になるための[[十分条件]]はいくつか知られている。例えば {{mvar|f}} および {{mvar|g}} がともに {{math|''x'' {{=}} 0}} において[[実解析的]]であり、ある正数 {{math|''b'' > 0}} に対し開区間 {{math|(0, ''b'')}} 上 {{math|''f'' > 0}} であれば、（{{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} のとき {{math|''f''(''x'') → 0}}, {{math|''g''(''x'') → 0}} であれば）{{math|''f''(''x'')<sup>''g''(''x'')</sup>}} の {{math|''x'' → 0{{sup|+}}}} のときの極限は必ず 1 である<ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?]</ref>{{sfn|Rotando|Korn|1977}}{{sfn|Lipkin|2003}}。 === 複素解析における扱い === [[複素領域]]において、{{math|0}} でない {{math|''z''}} に対し、関数 {{math|''z''<sup>''w''</sup>}} を、{{math|log ''z''}} の[[複素対数関数|分枝]]を選び、{{math|''z''<sup>''w''</sup>}} を {{math|''e''<sup>''w'' log ''z''</sup>}} と定義できる。これは {{math|0<sup>''w''</sup>}} を定義していない、なぜならば {{math|1=''z'' = 0}} において定義された {{math|log ''z''}} の分枝は存在せず、したがって当然 {{math|0}} の近傍で定義された {{math|log ''z''}} の分枝も存在しないからである{{sfn|神保|2003|pp=44–45}}。したがってこの意味で {{math|0<sup>''w''</sup>}} は定義されないのであるが、著者によっては別途、 * {{math|Re ''w'' > 0}} に対しては {{math|0}} と定義したり<ref>"Since ln 0 does not exist, 0<sup>''z''</sup> is undefined. For {{nowrap|Re ''z'' > 0}}, we define it arbitrarily as 0."（ln 0 は存在しないから、0<sup>''z''</sup> は定義されていない。{{nowrap|Re ''z'' > 0}} に対しては、0 と定義する。）{{harv|Carrier|Krook|Pearson|2005|p={{google books quote|id=M2IwKL-_HQ8C|page=15|15}}}}</ref> * {{math|''w'' ≠ 0}} に対しては {{math|0}} と定義したり<ref>"For {{nowrap|1=''z'' = 0}}, {{nowrap|''w'' ≠ 0}}, we define {{nowrap|1=0<sup>''w''</sup> = 0}}, while 0<sup>0</sup> is not defined."（{{nowrap|1=''z'' = 0}}, {{nowrap|''w'' ≠ 0}} に対しては、{{nowrap|1=0<sup>''w''</sup> = 0}} と定義するが、0<sup>0</sup> は定義しない。）{{harv|Gonzalez|1991|p={{google books quote|id=ncxL7EFr7GsC|page=56|56}}}}.</ref> <!-- 実変数複素数値の x^x についての論文のためコメントアウト<ref>"... Let's start at {{nowrap|1=''x'' = 0}}. Here ''x''<sup>''x''</sup> is undefined."（... {{nowrap|1=''x'' = 0}} から始めよう。ここでは ''x''<sup>''x''</sup> は定義されない。）{{harv|Meyerson|1996|p=204}}</ref>。 --> している。 == コンピュータにおける扱い == いくつかの[[プログラミング言語]]は {{math|0<sup>0</sup>}} を定義しており、その多くは {{math|1}} としている。{{math|1}} と定義しているプログラミング言語は、[[APL]]、[[Common Lisp]]、[[Haskell]]、[[J (プログラミング言語)|J]]、[[Java]]、[[JavaScript]]、[[Julia (プログラミング言語)|Julia]]、[[MATLAB]]、[[ML (プログラミング言語)|ML]]、[[Perl]]、[[Python]]、[[R言語|R]]、[[Ruby]]、[[Scheme]] であり、電卓では、[[Microsoft Windows]]および[[Google]]の電卓機能<ref>Google電卓機能による [https://www.google.com/search?q=0%5E0 0^0の計算結果]</ref>などである。[[Microsoft Excel]] では、ワークシート上で <code>=0^0</code> という数式を入力すると <code>#NUM!</code> というエラーを返すが、同ソフトウェアに搭載されている [[Visual Basic for Applications|VBA]] では1と定義されている<ref group="注">具体的には、Visual Basic Editor (VBE) のイミディエイトウィンドウ上で <code>?0^0</code> と打ち、Enter を押すと <code>1</code> と出てくる。</ref>。 [[Mathematica]] は、''a'' が[[変数 (プログラミング)|変数]]または 0 でない数のときは ''a''<sup>0</sup> を 1 と計算するが、0<sup>0</sup> は Indeterminate（不定）と返す。[[Maple]] や[[MuPAD]]はこれらを共に 1 と計算する。Wolfram Alpha ではundefinedと表示される。 == 脚注 == {{脚注ヘルプ}} === 注釈 === {{reflist|group="注"}} === 出典 === {{reflist|30em}} <!-- == 参考文献 == {{参照方法|date=2015年7月|section=1}} --> <!-- ↑「Wikipedia:スタイルマニュアル/レイアウト#参考文献」や「Wikipedia:出典を明記する」に基づき、暫定的処置として名前を関連資料へ変更しました。どこの記述に出典として用いられたか分かれば再編をお願いします。（当該編集者が関連書籍として誤って参考文献に追加した可能性も考えられます）--> == 関連資料 == {{refbegin}} * {{cite book |first1 = George F. |last1 = Carrier |first2 = Max |last2 = Krook |first3 = Carl E. |last3 = Pearson |title = Functions of a Complex Variable: Theory and Technique |url = {{google books|M2IwKL-_HQ8C|plainurl=yes}} |series = Classics in Applied Mathematics 49 |publisher = Society for Industrial & Applied |date = 2005-07-14 |origdate = 1966-03 |isbn = 978-0-89871-595-8 |ref = harv }} * {{cite book |first = Mario |last = Gonzalez |title = Classical Complex Analysis |url = {{google books|ncxL7EFr7GsC|plainurl=yes}} |series = Chapman & Hall 151 |publisher = CRC Press |date = 1991-09-24 |isbn = 978-0824784157 |ref = harv }} * {{cite book|和書 |first1 = ロナルド・L. |last1 = グレアム |first2 = オーレン |last2 = パタシュニク |first3 = ドナルド・E |last3 = クヌース |title = [[Concrete Mathematics|コンピュータの数学]] |publisher = [[共立出版]] |date = 1993-08 |isbn = 978-4-320-02668-1 |ref = harv }} * {{cite book | last = Grillet | first = Pierre A. | year = 1995 | title = Semigroups: An Introduction to the Structure Theory | url = {{google books|yM544W1N2UUC|plainurl=yes}} | isbn = 978-08247-9662-4 | mr = 1350793 | zbl = 0830.20079 | ref = harv }} * {{Cite book|和書 | last1 = 神保 | first1 = 道夫 | date = 2003 | title = 複素関数入門 | series = 現代数学への入門 | publisher = [[岩波書店]] | isbn = 4-00-006874-1 | ref = harv }} * {{Cite journal |pages = 403–422 |title = Two notes on notation |url = https://arxiv.org/abs/math/9205211 |journal = [[:en:American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]] |volume = 99 |issue = 5 |year = 1992 |last1 = Knuth |first1 = Donald E. |ref = harv }} * {{Cite journal |doi = 10.2307/3595845 |jstor = 3595845 |pages = 55–56 |title = On the Indeterminate Form 0<sup>0</sup> |journal = [[:en:The College Mathematics Journal|The College Mathematics Journal]] |volume = 34 |issue = 1 |publisher = Mathematical Association of America |year = 2003 |last1 = Lipkin |first1 = Leonard J. |ref = harv }} * {{Cite book|和書 | last1 = 松坂 | first1 = 和夫 | year = 1968 | title = 集合・位相入門 | publisher = 岩波書店 | isbn = 4-00-005424-4 | ref = harv }} * {{cite journal |doi = 10.2307/2691469 |jstor = 2691469 |first = Mark D. |last = Meyerson |title = The ''x''<sup>''x''</sup> Spindle |journal = Mathematics Magazine |volume = 69 |issue = 3 |year = 1996 |pages = 198-206 |ref = harv }} * {{Cite book | 和書 | last1 = 森田 | first1 = 康夫 | year = 2003 | title = 代数概論 | series = 数学選書9 | edition = 第12版 | publisher = 裳華房 | isbn = 978-4-7853-1311-1 | ref = harv }} * {{Cite journal |doi = 10.2307/2689754 |jstor = 2689754 |pages = 41–42 |title = The Indeterminate Form 0<sup>0</sup> |journal = [[:en:Mathematics Magazine|Mathematics Magazine]] |volume = 50 |issue = 1 |publisher = [[:en:Mathematical Association of America|Mathematical Association of America]] |year = 1977 |last1 = Rotando |first1 = Louis M. |last2 = Korn |first2 = Henry |ref = harv }} * {{Cite book | 和書 | last1 = 斎藤 | first1 = 毅 | year = 2009 | title = 集合と位相 | series = 大学数学の入門8 | publisher = 東京大学出版会 | isbn = 978-4-13-062958-4 | ref = harv }} {{refend}} == 関連項目 == * [[冪乗]] * [[指数関数]] * [[ゼロ除算]] * [[空関数]] * [[空積]] == 外部リンク == * [https://math.stackexchange.com/q/11150 Zero to the zero power – is 0^0=1? - Mathematics Stack Exchange] {{DEFAULTSORT:/0せろのせろしよう}} [[Category:算術]] [[Category:コンピュータの算術|0の0しよう]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:0]] [[de:Potenz (Mathematik)#Null hoch Null]]
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