1−2+4−8+…のソースを表示

[[数学]]において、'''1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + ...'''は項が連続する2の冪で符号が交互に繰りかえす[[無限級数]]である。[[等比数列]]としては、初項 [[1]] と公比 [[-2]] で特徴付けられる。

:<math>\sum_{k=0}^{n} (-2)^k</math>

これは[[実数]]の級数として発散するので、普通の意味では和を持たない。もっと広く解釈すると、この級数は一般化された和 [[1/3]] をもつ。

== 歴史上の議論 ==
[[ゴットフリート・ライプニッツ]]は、早くも[[1673年]]に、発散する交代級数である{{nowrap|1=1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + 16 &minus; ...}}を考察した。左または右で[[減法|減算]]することによって、正または負の無限大が得られるので、どちらの答えも誤りであり、全体としては有限であるべきだ、と彼は主張した。
:「さて、もしその2つのどちらも不可能であるか、またはむしろその2つのどちらが可能であるかを決めることができないならば、普通に考えて中間を選ぶ。そして、全体は有限の量に等しい。」
ライプニッツは、この級数が''[[加法|和]]''を持つことを完全には断言しなかったが、[[ゲラルドゥス・メルカトル|メルカトル]]の手法を用いることにより、⅓ に収束するという[[仮説]]を確かに推測した<ref>Leibniz pp.205-207; Knobloch pp. 124&ndash;125. これは ''De progressionibus intervallorum tangentium a vertice'' からの引用で、原文のラテン語では: "Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito."</ref> 。ある級数が、和として実際に足し合わせることなしに、何らかの有限量と等しくなるという姿勢は、[[18世紀]]にはよくあることだったが、現代数学においては全く注目されていない<ref>Ferraro and Panza p.21</ref>。

[[クリスティアン・ヴォルフ]]が、[[1712年]]半ばにライプニッツの[[グランディ級数]]に対する扱いを読んだ後<ref>''Acta Eruditorum'' に出版された手紙へのヴォルフの最初の引用は、1712年7月12日に [[ハレ (ザーレ)|Halle, Saxony-Anhalt]] から送られた手紙に現れる； Gerhardt pp. 143&ndash;146.</ref>、ヴォルフはその解法にとても喜び、算術平均の手法を {{nowrap|1=1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + 16 &minus; ...}} のような他の級数にも拡張しようとした。手短に言うと、この級数の部分和を最後から2番目の項の関数として表現すると、 {{nowrap|(4''m'' + 1)/3}} または {{nowrap|(&minus;4''n'' + 1)/3}} を得る。これらの値の平均は {{nowrap|(2''m'' &minus; 2''n'' + 1)/3}} であり、無限大において {{nowrap|1=''m'' = ''n''}} であると仮定すれば、級数の値として 1/3 が得られる。ライプニッツは自分の解法をこのように拡張することはできないだろうと直感し、ヴォルフの考えは面白いがいくつかの理由で無効であると返事を書いた。となりあった部分和の算術平均はどんな値にも収束せず、すべての有限の場合に対して {{nowrap|1=''n'' = 2''m''}} であって {{nowrap|1=''n'' = ''m''}} ではない。一般に、和をもつ級数の項は0に減少しなければならない。{{nowrap|1 &minus; 1 + 1 &minus; 1 + ...}} でさえそのような級数の極限として表現できるのだ。ライプニッツはヴォルフに、考え直して「科学と彼自身にとって価値あるものを生み出す」（"might produce something worthy of science and himself"<ref>この引用は Moore (pp. 2&ndash;3) の翻訳である； ライプニッツの手紙は Gerhardt pp.147-148 にある。日付は1712年7月13日で、[[ハノーファー]] から送られた。</ref>）ように助言した。

== 現代的手法 ==
=== 幾何級数 ===
{{仮リンク|正則性、線型性、安定性|en|divergent series#Properties of summation methods}}をもつ任意の総和法は[[幾何級数]]を次のように計算する。
: <math>\sum_{k=0}^\infty a r^k = \frac{a}{1-r}.</math>
この場合、''a'' = 1 と ''r'' = &minus;2 なので、和は 1/3 である。

=== オイラーの総和法 ===
[[レオンハルト・オイラー]]は、1775年に ''Institutiones'' において、現在では{{nowrap|1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + ...}} の[[オイラー変換]]と呼ばれるものを事実上用い、収束級数
[[1/2 &minus; 1/4 + 1/8 &minus; 1/16 + · · ·|{{nowrap|1/2 &minus; 1/4 + 1/8 &minus; 1/16 + ...}}]] に到達した。後者の和は 1/3 であるので、オイラーは {{nowrap|1=1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + ... = ⅓}} と結論付けた<ref>Euler p.234</ref>。無限級数に対する彼の考えは完全には現代的アプローチには従わない。今日では {{nowrap|1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + ...}} は {{仮リンク|Euler summable|en|Euler summation}} であり、そのオイラー和は 1/3 であると言う<ref>Korevaar p.325 を見よ</ref>。

[[Image:Pm1234 Euler 1755.png|thumb|right|300px|Excerpt from the ''Institutiones'']]
オイラー変換は、正の項からなる数列から始める。
:''a''<sub>0</sub> = 1,
:''a''<sub>1</sub> = 2,
:''a''<sub>2</sub> = 4,
:''a''<sub>3</sub> = 8, ... .

すると差分の列は
:Δ''a''<sub>0</sub> = ''a''<sub>1</sub> &minus; ''a''<sub>0</sub> = 2 &minus; 1 = 1,
:Δ''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub> &minus; ''a''<sub>1</sub> = 4 &minus; 2 = 2,
:Δ''a''<sub>2</sub> = ''a''<sub>3</sub> &minus; ''a''<sub>2</sub> = 8 &minus; 4 = 4,
:Δ''a''<sub>3</sub> = ''a''<sub>4</sub> &minus; ''a''<sub>3</sub> = 16 &minus; 8 = 8, ...,

となり、全く同じ列である。したがって差分をとることを繰り返した列はどれもすべての ''n'' に対して {{nowrap|1=Δ<sup>''n''</sup>''a''<sub>0</sub> = 1}} で始まる。そのオイラー変換は以下の級数である。

:<math>\frac{a_0}{2}-\frac{\Delta a_0}{4}+\frac{\Delta^2 a_0}{8}-\frac{\Delta^3 a_0}{16}+\cdots = \frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\cdots.</math>

これは収束[[幾何級数]]で、その和は通常の公式により 1/3 である。

=== ボレルの総和法 ===
{{nowrap|1 &minus; 2 + 4 &minus; 8 + ...}} の [[ボレル総和]]はまた 1/3 である。[[エミール・ボレル]]が[[1896年]]にボレル和の極限公式を導入したとき、これは [[グランディ級数|1 &minus; 1 + 1 &minus; 1 + ...]] に続く彼の最初の例の1つだった。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
<div class="references-small">
*{{cite book |last=Euler |first=Leonhard |title=Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum |year=1755 |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html}}
*{{cite journal |author=Ferraro, Giovanni and Marco Panza |title=Developing into series and returning from series: A note on the foundations of eighteenth-century analysis |journal=Historia Mathematica |volume=30 |issue=1 |pages=17–46 |doi=10.1016/S0315-0860(02)00017-4|date=February  2003}}
*{{cite book |last=Gerhardt |first=C.I. |title=Briefwechsel zwischen Leibniz und Christian Wolf aus den handschriften der Koeniglichen Bibliothek zu Hannover |year=1860 |location=Halle |publisher=H.W. Schmidt |url=https://books.google.co.jp/books?id=5ScCAAAAQAAJ&pg=RA1-PP14&redir_esc=y&hl=ja}}
*{{cite journal |last=Knobloch |first=Eberhard |title=Beyond Cartesian limits: Leibniz’s passage from algebraic to "transcendental" mathematics |journal=Historia Mathematica |volume=33 |year=2006 |pages=113–131 |doi=10.1016/j.hm.2004.02.001}}
*{{cite book |last=Korevaar |first=Jacob |title=Tauberian Theory: A Century of Developments |publisher=Springer |year=2004 |isbn=3-540-21058-X}}
*{{cite book |last=Leibniz |first=Gottfried |authorlink=Gottfried Leibniz |year=2003 |title=Sämtliche Schriften und Briefe, Reihe 7, Band 3: 1672–1676: Differenzen, Folgen, Reihen |publisher=Akademie Verlag |isbn=3-05-004003-3 |url=http://www.nlb-hannover.de/Leibniz/Leibnizarchiv/Veroeffentlichungen/ |editors=S. Probst, E. Knobloch, N. Gädeke }}
*{{cite book |last=Moore |first=Charles |title=Summable Series and Convergence Factors |publisher=AMS |year=1938 |id={{LCC|QA1|.A5225|V.22}}}}
*{{cite book |last=Smail |first=Lloyd |title=History and Synopsis of the Theory of Summable Infinite Processes |year=1925 |publisher=University of Oregon Press |id={{LCC|QA295|.S64}}}}
</div>

{{級数}}

{{DEFAULTSORT:/1いちひくにたすよんひくはちたす}}
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