1の冪根のソースを表示

{{Expand English|Root of unity|date=2024年5月}}
'''1の冪根'''（いちのべきこん、{{lang-en-short|root of unity}}）または'''1の累乗根'''（いちのるいじょうこん）とは、[[数学]]において[[冪乗]]して 1 になる（[[冪単]]である）[[数]]のことである。すなわち、ある[[自然数]] {{mvar|n}} が存在して
:{{math2|1=''z{{sup|n}}'' = 1}}
となる {{mvar|z}} のことである。通常は[[複素数]]の範囲で考えるが、場合によっては [[p進数|{{mvar|p}}進数]]のような他の数の体系内で考える場合もある。以下では主として複素数の場合について述べる。

1 の {{mvar|n}}乗根の内、{{math2|''m'' (< ''n'')}} 乗しても決して 1 にならず、{{mvar|n}}乗して初めて 1 になるものは'''原始的''' (primitive) であるという。全ての自然数 {{mvar|n}} に対する 1 の原始{{mvar|n}}乗根を総称し、'''1 の原始冪根'''（いちのげんしべきこん）、または'''1 の原始累乗根'''（いちのげんしるいじょうこん）という。

== 1の原始冪根 ==
[[複素数]]の範囲では、1 の原始{{mvar|n}}乗根は {{math2|''n'' ≥ 3}} のとき2つ以上存在する。[[ド・モアブルの定理]]より、
:<math>\zeta_n =\cos \frac{2\pi}{n} +i\sin \frac{2\pi}{n}</math>
は 1 の原始{{mvar|n}}乗根の一つであることが分かる。この時、{{mvar|ζ{{sub|n}}}} の[[複素共役|共役複素数]] {{math|{{overline|''ζ{{sub|n}}''}}}} も 1 の原始{{mvar|n}}乗根である。{{mvar|n}} と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な自然数 {{mvar|m}} に対して {{mvar|ξ{{sub|n}}{{sup|m}}}} は 1 の原始{{mvar|n}}乗根であり、逆に 1 の原始{{mvar|n}}乗根はこの形に表せる。すなわち、1 の原始{{mvar|n}}乗根は、[[オイラーのφ関数]]を用いて、{{math|''φ''(''n'')}} 個だけ存在する。

方程式 {{math|''x{{sup|n}}'' {{=}} 1}} を考える。この[[多項式の根|方程式の解]]は、ド・モアブルの定理より、
:<math>x=\cos \frac{2\pi k}{n} +i\sin \frac{2\pi k}{n} \quad (k=1,2, \cdots, n)</math>
であるが、1 の原始{{mvar|n}}乗根 {{mvar|ξ{{sub|n}}}} を一つ選べば、
:<math>x= {\xi_n}^k \quad (k=1,2, \cdots, n)</math>
と書くことができる。

また上記のように根を三角関数で表すことは容易であるが、それが根号を用いて表示できること、つまり方程式が代数的にも可解であることは[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]により証明された。

=== 1の原始冪根の例 ===
以下、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]である。
*<math>\xi_2 =-1</math>
*<math>\xi_3 =\frac{-1\pm \sqrt{3}\,i}{2}</math>（[[立方根#性質|しばしば {{mvar|ω}} と書かれる]]）
*<math>\xi_4 =\pm i</math>
*<math>\xi_5 =\frac{-1+ \sqrt{5} \pm i\sqrt{10+2\sqrt5}}{4}, \frac{-1-\sqrt{5} \pm i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}</math>
*<math>\xi_6 =\frac{1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}</math>
*<math>\xi_8 =\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{2}\,i}{2} ,\frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{2}\,i}{2}</math>

== 性質 ==
* 1 の冪根は全て、[[複素数平面]]における[[単位円]]周上にある。また[[#1の原始冪根|概要]]で述べたことより、1 の {{mvar|n}}乗根の全体は、位数 {{mvar|n}} の[[巡回群]]である。これは[[円周群]]の[[正規部分群]]である。
* 複素係数の方程式 {{math2|''x{{sup|n}}'' &minus; ''a'' {{=}} 0}}（{{mvar|a}} は複素数）の解は、{{mvar|a}} の {{mvar|n}}乗根を任意に一つ選んで {{math|{{radic|''a''|''n''}}}} と表せば、
*:{{math|1=''x'' = {{radic|''a''|''n''}} ''ζ{{sub|k}}'' (''k'' = 0, 1, …, ''n'' &minus; 1)}}
:となる。
* 1 の {{mvar|n}}乗根は、複素数平面では、単位円に内接する[[正多角形|正{{mvar|n}}角形]]の頂点である。この正{{mvar|n}}角形の[[幾何中心|重心]]は原点 {{math|0}} であるから、1 の原始{{mvar|n}}乗根の一つを {{mvar|ξ{{sub|n}}}} とすると、次の等式が成り立つ：
::<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^{n-1} {\xi_n}^k =1+\xi_n +{\xi_n}^2 +\cdots +{\xi_n}^{n-2} +{\xi_n}^{n-1} =0</math>

== 関連項目 ==
*[[冪根]]
*[[代数的数]]
*[[円分多項式]]
*[[円分体]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|2=1のn乗根の導出と複素数平面|urlname=njokonof1}}


{{代数的数}}<!--
{{複素数}}-->

{{DEFAULTSORT:いちのへきこん}}
[[Category:代数的数|1いちのへきこん]]
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