1の分割のソースを表示

[[数学]]において[[位相空間]] ''X'' の '''1 の分割'''（いちのぶんかつ、{{lang-en-short|partition of unity}}）は、''X'' から[[単位区間]] [0,&nbsp;1] への[[連続関数 (位相空間論)|連続関数]]の集合 ''R'' であって、すべての点 <math>x\in X</math> に対して以下の二条件を満たすものである：
*<math>x</math>の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]が存在して ''R'' の関数の[[補有限|有限個を除くすべて]]は 0 である；
*<math>x</math>におけるすべての関数の値の和は 1 である、すなわち、<math>\;\sum_{\rho\in R} \rho(x) = 1.</math>

[[Image:Partition of unity illustration.svg|center|thumb|500px|4 つの関数による円の 1 の分割。円はグラフを書くために線分（底の実線）にアンロールされている。上の破線は分割の関数の和である。]]
1 の分割は、しばしばそれによって局所的な構成を空間全体に拡張することができるから、有用である。またデータの[[内挿]]、[[信号処理]]、[[スプライン曲線]]の理論においても重要である。  

== 存在 ==
1 の分割の存在は 2 つの異なる形式を仮定する：

# 空間の任意の[[開被覆]] {''U''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub> が与えられたとき、''同じ集合 I 上''添え字づけられた分割 {ρ<sub>''i''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub> が存在して、[[関数の台|supp]] ρ<sub>''i''</sub>⊆''U''<sub>''i''</sub>。そのような分割を'''開被覆''' {''U''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> '''に属する''' (subordinate to the open cover) と言う。
# 空間の任意の開被覆 {''U''<sub>''i''</sub>}<sub>''i''∈''I''</sub> が与えられたとき、別のでもよい添え字集合 ''J'' 上添え字付けられた分割 {ρ<sub>''j''</sub>}<sub>''j''∈''J''</sub> が存在して、各 ρ<sub>''j''</sub> は[[コンパクト台]]を持ち各 ''j''&nbsp;&isin;&nbsp;''J'' に対してある ''i''&nbsp;&isin;&nbsp;''I'' が存在して supp&nbsp;ρ<sub>''j''</sub>⊆''U''<sub>''i''</sub>。

したがって、開被覆によって添え字付けられた[[関数の台|台]]を持つかコンパクト台を持つかを選ぶ。空間が[[コンパクト空間|コンパクト]]であれば、どちらの要求も満たす分割が存在する。

有限開被覆は、空間が局所コンパクトかつハウスドルフであれば、それに属する 1 の連続分割を必ず持つ<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Real and complex analysis|year=1987|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=0-07-054234-1|pages=40|edition=3rd ed.}}</ref>。空間の[[パラコンパクト性]]は任意の開被覆に対しそれに属する 1 の分割が存在することを保証する必要条件である。空間が属する[[圏 (数学)|圏]]に依っては十分条件でもある<ref>{{cite book|first=Charalambos D.|last=Aliprantis|first2=Kim C.|last2=Border
|title=Infinite dimensional analysis: a hitchhiker's guide
|year=2007|publisher=Springer|location=Berlin|isbn=978-3-540-32696-0|pages=716|edition=3rd ed.}}</ref>。構成は[[軟化子]] （[[隆起関数]]）を用いる。これは連続で[[滑らかな多様体]] には存在するが、{{仮リンク|解析的多様体|en|analytic manifold}}には存在しない。したがって解析的多様体の開被覆に対しては、その開被覆に属する 1 の解析的分割は一般には存在しない。

''R'' と ''S'' がそれぞれ空間 ''X'' と ''Y'' の 1 の分割であれば、元ごとの積全体の集合 <math>\{\rho\sigma : \rho\in R \land \sigma \in S\}</math> は[[カルテジアン積]]空間 ''X''×''Y'' の 1 の分割である。

==少し異なる定義==
制限の少ない定義が使われることがある： 空間の各点に対してその点におけるすべての関数値の和は 1 ではなく正であることだけ要求される。しかしながら、関数のそのような集合が与えられると、すべての関数の和で各関数を割る（これは定義される、なぜならば任意の点において有限個の項しか持たないから）ことによって強い意味での 1 の分割を得ることができる。

==応用==
1 の分割は多様体上定義された関数の（ある[[体積形式]]に関する）積分を定義するために使うことができる： まず台が多様体のある 1 つの coordinate patch に含まれる関数の積分を定義する； 次に 1 の分割を用いて任意の関数の積分を定義する； 最後に定義は 1 の分割の取り方によらないことを示す。

1 の分割は任意の多様体上に[[リーマン計量]]が存在することを示すのに使うことができる。

{{仮リンク|最急降下法|en|Method of steepest descent|preserve=1}}（鞍点法）において積分の漸近展開を構成するために 1 の分割が用いられる（[[:en:Method_of_steepest_descent#The_case_of_multiple_non-degenerate_saddle_points]]も参照）。

{{仮リンク|リンクウィッツ・ライリーフィルター|en|Linkwitz–Riley filter}} は 1 の分割を実用に応用して入力シグナルを高いあるいは低い周波数成分のみ含む 2 つの出力シグナルに分離する。

固定された次数 ''m'' の[[バーンスタイン多項式]]全体は単位区間 [0,&nbsp;1] に対する 1 の分割である線型独立な ''m''&nbsp;+&nbsp;1 個の多項式の族である。

==関連項目==
* {{仮リンク|貼り合せ公理|en|Gluing axiom}}
* {{仮リンク|細層|en|Fine sheaf|preserve=1}}

==参考文献==
{{Reflist}}
* {{Citation | last1=Tu | first1=Loring W. | title=An introduction to manifolds | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Universitext | isbn=978-1-4419-7399-3 | doi=10.1007/978-1-4419-7400-6 | year=2011}}, see chapter 13

==外部リンク==
*[http://mathworld.wolfram.com/PartitionofUnity.html General information on partition of unity] at [Mathworld]
*[https://web.archive.org/web/20111109090750/http://planetmath.org/encyclopedia/PartitionOfUnity.html Applications of a partition of unity] at [Planet Math]

{{DEFAULTSORT:1いちのふんかつ}}
[[Category:微分位相幾何学]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]