17点3次曲線のソースを表示

[[File:Thomson cubic.svg|thumb|赤い三角形に対し、黒い曲線が17点3次曲線。<br />X(n)に関しては[[三角形の中心]]を参照。]]
[[幾何学]]における'''17点3次曲線'''（17てん3じきょくせん）<ref>岩田至康『幾何学大事典』6巻P.468</ref><ref name="name">「Thomsonの3次曲線」に関しては日本語の定訳が見つからなかったのでこれを記事名とした。</ref>とは、自身と等角共役点と重心が同一直線上に乗る点の[[軌跡 (数学)|軌跡]]である。'''トムソンの3次曲線'''<ref name="name" />ともいう。

三角形の五心を含む少なくとも17個の点がこの曲線上にあることからこの名がつけられた。

== 定義と方程式 ==
17点3次曲線は、「X の等角共役点 X'<ref>∠BAX=∠CAX' ∠CBX=∠ABX' ∠ACX=∠BCX' を満たす点</ref> と重心が同一直線上にある点Xの軌跡」である。三角形の3辺の長さを a, b, c とするとこの曲線の方程式は以下のようになる。
* 三線座標で表すと <math>abh_C(h_A^2-h_B^2)+cah_B(h_C^2-h_A^2)+bch_A(h_B^2-h_C^2)=0</math>。
* 重心座標で表すと <math>a^2g_Bg_C(g_B-g_C)+b^2g_Cg_A(g_C-g_A)+c^2g_Ag_B(g_A-g_B)=0</math>。

== 17個の点 ==
この曲線は、以下の17個の点を通る。
* [[三角形の内接円と傍接円|内心と傍心]]
** 自身が等角共役点のため、それらと重心は同一直線上にある。
* [[重心]]と[[類似重心]]
** この2点が等角共役点であるため、明らか。
* [[外心]]と[[垂心]]
** この2点が等角共役点である。この2点と重心は共に[[オイラー線]]上にある。
* [[頂点]]
** 等角共役点は存在しないが、上記の方程式に(1,0,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
* 3辺の中点
** 等角共役点は存在しないが、上記の重心座標の方程式に(1,1,0)を代入すれば明らかに成り立つ。
* 3本の垂線の中点

他に、[[シュタイナーの内接楕円]]の焦点や[[ミッテンプンクト]]とその等角共役点を通る。

== 脚注 ==
<references />

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Thomson Cubic|urlname=ThomsonCubic}}
*{{Cite web |url=http://bernard-gibert.fr/Exemples/k002.html |title=Thomson Cubic, 17-point cubic, pK(X6, X2), TC(X3) |access-date=2024-7-22 |publisher=[[Bernard Gibert]] |website=[[Catalogue of Triangle Cubics]]}}

{{DEFAULTSORT:しゆうななてんさんしきよくせん}}
[[Category:三角形]]
[[Category:三次曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:名数17]]