2状態系のソースを表示

[[File:Ts atomspectrum.svg|thumb|256px|共鳴波長の光に応答する原子の2準位系は2状態系の例である。]]
[[量子力学]]において、'''2状態系'''（2じょうたいけい、{{lang-en-short|two-state system}}）とは、2つの[[線型独立|独立]]な[[量子状態]]から構成される量子系である{{Sfnp|Cohen-Tannoudj|Diu|1977|loc=chapter IV}}。自明ではない量子系としては最も簡単なものであるが、量子力学の特徴的な性質を備える。コインの表裏のような[[古典力学|古典]]対応物と異なり、2状態系の量子状態を記述する[[状態ベクトル]]は、2つの独立な状態の[[重ね合わせ]]の比率と[[位相]]差が異なる無限に多くの状態を取り得る。こうした性質は[[量子情報]]理論での[[量子ビット]]の基礎をなす。2状態系として記述される系は電子や原子核の[[スピン角運動量|スピン]] {{Sfrac|1|2}} の系、[[光子]]の[[偏光]]状態、共鳴波長の光に応答する原子の2[[準位]]系、[[ニュートリノ振動]]、[[アンモニア]]分子の反転モードなどの豊富な物理現象を含む{{Sfnp|北野|2010|loc=第8章}}{{Sfnp|高林|1999|loc=第12章}}{{Sfnp|Sakurai|Napolitano|2010|loc=chapter 2, 3 and 5}}{{Sfnp|Feynmann|Leighton|Sands|1963|loc=chapter 8-10}}。また、[[核磁気共鳴]]やアンモニア[[メーザー]]の理論的な基礎付けを与えている。[[桜井純|J. J. Sakurai]] の著書 "''Modern quantum mechanics''" では[[ノーベル賞]]受賞者で2状態系の解析に携わった者として、7人の名を挙げている{{Sfnp|Sakurai|Napolitano|2010|loc=&sect;5.5}}。

==概要==
2状態系では[[正規直交系|正規直交化]]された2つの状態ベクトル {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} で任意の量子状態を表すことができる。{{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} の取り方は自由であるが、通常、実験的に準備でき、かつ物理的な意味づけが明確なものが用いられる。例えば、スピン {{Sfrac|1|2}} の系での固有状態、外場を印加しない状態での原子の2準位がそうした例である。

2つの状態ベクトル {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} は[[正規直交系|正規直交性]]
:<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}\quad(\alpha,\beta=1,2)</math>
と[[完全系|完全性]]の条件
:<math>|1\rangle\langle1|+|2\rangle\langle2|=\hat{I}</math>
を満たすものとする。但し、{{mvar|&delta;<sub>&alpha;&beta;</sub>}} は[[クロネッカーのデルタ]]であり、{{math|{{hat|''I''}}}} は[[恒等演算子]]である。

任意の状態ベクトル {{math|{{ket|''&psi;''}}}} は {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} の線形結合として、次の形で表すことができる。
:<math>|\psi\rangle=c_1|1\rangle+c_2|2\rangle</math>
状態ベクトルは2次元複素[[ヒルベルト空間]]の[[元 (数学)|元]]である。また、[[オブザーバブル]]としての物理量は[[縮退]]のある場合を除き、2つの[[固有状態]]を持つ。{{math|{{ket|''&psi;''}}}} に[[規格化|規格化条件]]を課す場合、複素係数 {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>}} は
:<math>|c_1|^2+|c_2|^2=1</math>
を満たす。特に2つの状態ベクトル {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} がオブザーバブルの縮退のない固有状態、すなわち観測可能かつ識別できる状態に対応するならば、規格化された状態ベクトル {{math|{{ket|''&psi;''}}}} に対し、観測により系が状態 {{math|{{ket|1}}}} にあることを見いだす確率は {{math|{{abs|''c''<sub>1</sub>}}<sup>2</sup>}}、状態 {{math|{{ket|2}}}} にあることを見いだす確率は {{math|{{abs|''c''<sub>2</sub>}}<sup>2</sup>}} で与えられる。

== ハミルトニアン ==
2状態系の[[ハミルトニアン]]は2次元複素ヒルベルト空間のエルミート作用素であり、基底の選択の下、状態ベクトルに2&times;2[[行列]]として作用する。基底として完全[[正規直交基底]] {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} を取れば、ハミルトニアンは
:<math>\hat{H}=H_{11}|1\rangle\langle1|+H_{12}|1\rangle\langle2|+H_{21}|2\rangle\langle1|+H_{22}|2\rangle\langle2|</math>
の形で表すことができる。このとき、ハミルトニアンの[[行列表示|行列要素]] {{mvar|H<sub>&alpha;&beta;</sub>}} は基底の正規直交性より
:<math>H_{\alpha\beta}=\langle\alpha|\hat{H}|\beta\rangle\quad(\alpha,\beta=1,2)</math>
と書ける。また、ハミルトニアンの[[エルミート作用素|エルミート性]]から対角成分の実数条件
:<math>H_{11}=H^*_{11},\,H_{22}=H^*_{22}</math>
及び非対角成分の条件
:<math>H_{12}=H^*_{21}</math>
が要請される。ここで、{{Math|''a''<sup>*</sup>}} は {{Mvar|a}} の[[複素共役]]を表わす。

ハミルトニアン {{math|{{hat|''H''}}}} の固有値 {{math|''E''<sub>I</sub>, ''E''<sub>II</sub>}} に対応する固有ベクトルをそれぞれ {{math|{{ket|I}}, {{ket|II}}}} とする。
:<math>\hat{H}|\mathrm I\rangle=E_\mathrm{I}|\mathrm I\rangle</math>
:<math>\hat{H}|\mathrm{II}\rangle=E_\mathrm{II}|\mathrm{II}\rangle</math>
このとき、補助変数 {{mvar|&theta;, &phi;}} を
:<math>\tan{\theta}=\frac{2|H_{12}|}{H_{11}-H_{22}}\quad(0\leq\theta<\pi)</math>
:<math>H_{21}=|H_{21}|e^{i\phi}\quad(0\leq\phi<2\pi)</math>
として、
:<math>E_{I}=\frac{1}{2}(H_{11}+H_{22})+\frac{1}{2}\sqrt{(H_{11}-H_{22})^2+4|H_{12}|^2}</math>
:<math>E_{II}=\frac{1}{2}(H_{11}+H_{22})-\frac{1}{2}\sqrt{(H_{11}-H_{22})^2+4|H_{12}|^2}</math>
:<math>|\mathrm I\rangle=\cos{\frac{\theta}{2}}e^{-i\phi/2}|1\rangle+\sin{\frac{\theta}{2}}e^{i\phi/2}|2\rangle</math>
:<math>|\mathrm{II}\rangle=-\sin{\frac{\theta}{2}}e^{-i\phi/2}|1\rangle+\cos{\frac{\theta}{2}}e^{i\phi/2}|2\rangle</math>
と求めることができる{{Sfnp|Cohen-Tannoudj|Diu|1977|loc=chapter IV}}。{{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} と 上記の {{math|{{ket|I}}, {{ket|II}}}} は[[ユニタリ変換]]で結ばれており、 {{math|{{ket|I}}, {{ket|II}}}} も正規直交性
:<math>\langle a|b\rangle=\delta_{ab}\quad(a,b=\mathrm I,\mathrm{II})</math>
と完全性
:<math>|\mathrm I\rangle\langle\mathrm I|+|\mathrm{II}\rangle\langle\mathrm{II}|=\hat{I}</math>
の条件を満たす基底である。また、{{math|{{ket|I}}, {{ket|II}}}} は次の形で {{math|{{hat|''H''}}}} の[[スペクトル分解]]を与える。
:<math>\hat{H}=E_\mathrm{I}|\mathrm I\rangle\langle\mathrm I|+E_\mathrm{II}|\mathrm{II}\rangle\langle\mathrm{II}|</math>

== 時間発展 ==
量子状態
:<math>|\psi(t)\rangle=c_1(t)|1\rangle+c_2(t)|2\rangle\quad(|c_1(t)|^2+|c_2(t)|^2=1)</math>
の[[時間発展]]は[[シュレディンガー方程式]]
:<math>i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle</math>
に従うことから、時間発展は複素係数 {{math|''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>}} の微分方程式
:<math>i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}c_1(t)=H_{11}c_1(t)+H_{12}c_2(t)</math>
:<math>i\hbar\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}c_2(t)=H_{21}c_1(t)+H_{22}c_2(t)</math>
で与えられる。

==例==
===共鳴波長の光に応答する2準位原子系===
光と相互する原子の系は、[[共鳴]]条件において、2準位原子としての近似が可能であり、2状態系として扱える。原子の特定の2準位として、エネルギー準位 {{math|''E''<sub>1</sub>}} の下側の準位1とエネルギー準位 {{math|''E''<sub>2</sub>}} の上側の準位2を考える。光の[[波長]]が共鳴条件付近にあれば、準位2の状態はエネルギー {{math|''&#x127;&omega;''<sub>21</sub> {{=}} ''E''<sub>2</sub> &minus; ''E''<sub>1</sub>}} の光子を放出して準位1に[[遷移]]し、準位1の状態はエネルギー {{math|''&#x127;&omega;''<sub>21</sub>}} の光子を吸収して準位2に遷移する。[[レーザー光]]のような[[単色光|単色性]]のよい光では、状態の遷移は準位1と準位2の間に限られ、他の準位への遷移は無視できるため、2準位原子として近似できる。

===スピン1/2の系===
電子や原子核のスピン {{Sfrac|1|2}} の系は2状態系の典型例である。[[スピン演算子]] {{mvar|{{hat|S}}<sub>x</sub>, {{hat|S}}<sub>y</sub>, {{hat|S}}<sub>z</sub>}} で記述されるスピン {{Sfrac|1|2}} の系に対し、量子化軸として {{mvar|z}} 軸をとると、{{mvar|{{hat|S}}<sub>z</sub>}} の固有値 {{math|+{{Sfrac|''&#x127;''|2}}, &minus;{{Sfrac|''&#x127;''|2}}}} の固有状態として、{{math|{{ket|+}}, {{ket|&minus;}}}} が取れる。

== パウリ行列による表現 ==
=== パウリ行列の導入 ===
2状態系の演算子の記述には、[[パウリ行列]]による表現が適用できる{{Sfnp|Cohen-Tannoudj|Diu|1977|loc=chapter IV}}。[[エルミート演算子]]
:<math>\hat{\sigma}_{1}=|1\rangle\langle2|+|2\rangle\langle1|</math>
:<math>\hat{\sigma}_{2}=-i(|1\rangle\langle2|-|2\rangle\langle1|)</math> 
:<math>\hat{\sigma}_{3}=|1\rangle\langle1|-|2\rangle\langle2|</math>
を導入すると、これらは関係式
:<math>\hat{\sigma}_1^{\,2}=\hat{\sigma}_2^{\,2}=\hat{\sigma}_3^{\,2}=\hat{I}</math>
:<math>\hat{\sigma}_1\hat{\sigma}_2=-\hat{\sigma}_2\hat{\sigma}_1=i\hat{\sigma}_3,\quad\hat{\sigma}_2\hat{\sigma}_3=-\hat{\sigma}_3\hat{\sigma}_2=i\hat{\sigma}_1,\quad\hat{\sigma}_3\hat{\sigma}_1=-\hat{\sigma}_1\hat{\sigma}_3=i\hat{\sigma}_2</math>
を満たす。

特に状態ベクトル {{math|{{ket|1}}, {{ket|2}}}} を特定の[[基底 (線型代数学)|基底]]
:<math>|1\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\,|2\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}</math>
と対応させたときに、{{math|{{hat|''&sigma;''}}<sub>''k''</sub>}} は
:<math>\hat{\sigma}_1=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{pmatrix}\mbox{, }\quad\hat{\sigma}_2=\begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{pmatrix}\mbox{, }\quad\hat{\sigma}_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}</math>
となり、パウリ行列そのものになる。任意の演算子
:<math>\hat{A}=A_{11}|1\rangle\langle1|+A_{12}|1\rangle\langle2|+A_{21}|2\rangle\langle1|+A_{22}|2\rangle\langle2|\quad(A_{\alpha\beta}=\langle\alpha|\hat{A}|\beta\rangle)</math>
は恒等演算子 {{math|{{hat|''I''}}}} と {{math|{{hat|''&sigma;''}}<sub>''k''</sub> (''k'' {{=}} 1, 2, 3)}} により、
:<math>\begin{align}\hat{A}&=a_0\hat{I}+a_1\hat{\sigma}_1+a_2\hat{\sigma}_2+a_3\hat{\sigma}_3\\
&=a_0\hat{I}+\vec{a}\cdot\vec{\hat{\sigma}}\end{align}</math>
と展開できる。但し、展開係数は
:<math>a_0=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}(\hat{A})=\frac{1}{2}(A_{11}+A_{22})</math>
:<math>a_1=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_1\hat{A})=\frac{1}{2}(A_{21}+A_{12})</math>
:<math>a_2=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_2\hat{A})=\frac{i}{2}(A_{12}-A_{21})</math>
:<math>a_3=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_3\hat{A})=\frac{1}{2}(A_{11}-A_{22})</math>
で与えられる。特に {{math|{{hat|''A''}}}} がエルミート演算子である場合、これらの展開係数は実数となる。

=== 時間発展作用素への応用 ===
ハミルトニアン {{math|{{hat|''H''}}}} が時間に陽に依存しない場合、[[時間発展演算子]]は[[行列指数関数]]で与えられるが、2状態系ではパウリ行列による展開で直接的に求めることができる{{Sfnp|北野|2010|loc=第8章}}{{Sfnp|高林|1999|loc=第12章}}。ハミルトニアン {{math|{{hat|''H''}}}} はパウリ行列で
:<math>\begin{align}\hat{H}&=\hbar\omega_0\hat{I}+\hbar\omega_1\hat{\sigma}_1+\hbar\omega_2\hat{\sigma}_2+\hbar\omega_3\hat{\sigma}_3\\
&=\hbar\omega_0\hat{I}+\hbar\vec{\omega}\cdot\vec{\hat{\sigma}}\end{align}</math>
の形で展開できる。第一項は時間発展には共通[[位相因子]]分 {{math|''e''<sup>&minus;''i&omega;''<sub>0</sub>''t''</sup>}} しか寄与せず、エネルギーの基準を取り直すことで無視してもよい。このとき　時間発展演算子は[[パウリ行列#指数関数|パウリ行列の行列指数関数]]の性質により、
:<math>\begin{align}\hat{U}(t,0)&=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t} \\
&=e^{-i\omega_0t\hat{I}}e^{-it\vec{\omega}\cdot\vec{\hat{\sigma}}} \\
&=e^{-i\omega_0t}\left\{\cos{(|\vec{\omega}|t)}\,\hat{I}-i\sin{(|\vec{\omega}|t)}\,(\vec{n}\cdot\vec{\hat{\sigma}})\right\}\end{align}</math>
で与えられる。但し、{{math|{{vec|''n''}}}} は
:<math>\vec{n}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|}</math>
で与えられる[[単位ベクトル]]である。

== ブロッホ球 ==
{{main|ブロッホ球}}
[[Image:SpheredeBloch.png|thumb|right|250px|ブロッホ球による表示]]
2状態系は3次元[[実空間]]の[[単位球面]]であるブロッホ球で記述することができる{{Sfnp|北野|2010|loc=第8章}}。2状態系の[[密度行列]]
:<math>\begin{align}\hat{\rho}&=|\psi\rangle\langle\psi|\\
&=|c_1|^2|1\rangle\langle1|+c_1c_2^{\,\ast}|1\rangle\langle2|+c_2c_1^{\,\ast}|2\rangle\langle1|+|c_2|^2|2\rangle\langle2|\end{align}</math>
はパウリ行列により、
:<math>\hat{\rho}=s_0\frac{\hat{I}}{2}+s_1\frac{\hat{\sigma}_1}{2}+s_2\frac{\hat{\sigma}_2}{2}+s_3\frac{\hat{\sigma}_3}{2}</math>
と展開できる。但し、展開係数は
:<math>s_0=\operatorname{Tr}(\hat{\rho})=|c_1|^2+|c_2|^2=1</math>
:<math>s_1=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_1\hat{\rho})=c_1^{\,\ast}c_2+c_2^{\,\ast}c_1</math>
:<math>s_2=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_2\hat{\rho})=i(c_1c_2^{\,\ast}-c_2c_1^{\,\ast})</math>
:<math>s_3=\operatorname{Tr}(\hat{\sigma}_3\hat{\rho})=|c_1|^2-|c_2|^2</math>
で与えられる実数である。ここで
:<math>\vec{s}(t)=s_1\vec{e_1}+s_2\vec{e_2}+s_2\vec{e_3}</math>
で定義される[[単位ベクトル]]を'''ブロッホベクトル'''といい、ブロッホベクトルがなす単位球面を'''ブロッホ球'''という。ブロッホ球上の点は[[経度]] {{math|{{Sfrac|''&pi;''|2}} &minus; ''&theta;''}}、[[経度]] {{mvar|&phi;}} とする[[球面座標系|極座標]]の実パラメータ {{math|(''&phi;'', ''&theta;'')}} で表すことができる。2状態系のブロッホ球による表示は米国の物理学者[[リチャード・ファインマン]]によって導入された{{Sfnp|Feynman|Vernon Jr.|Hellwarth|1957}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
=== 論文 ===
* {{cite journal|authorlink1=リチャード・P・ファインマン|authorlink3=ロバート・ヘルワース|year=1957|url=http://unicorn.ps.uci.edu/249/pdfs/FeynmanPaper.pdf|title=Geometrical Representation of the Schrödinger Equation for Solving Maser Problems|format=[[Portable Document Format|PDF]]|publisher=[[米国物理学協会|AIP]]|journal={{enlink|Journal of Applied Physics|J. Appl. Phys.|p=off|s=off}}|volume=28|issue=1|pages=49–52|ref=harv|first1=Richard P.|last1=Feynman|first2=Frank L.|last2=Vernon Jr.|first3=Robert W.|last3=Hellwarth|issn=0021-8979|lccn=33023425|oclc=900973293|bibcode=1957JAP....28...49F|doi=10.1063/1.1722572}}

=== 書籍 ===
* {{Cite book|和書|last=北野|first=正雄|authorlink=北野正雄|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320034624|title=量子力学の基礎|date=2010-01-23|publisher=[[共立出版]]|id={{全国書誌番号|21708221}}|isbn=978-4320034624|ncid=BB00852726|oclc=502981559|asin=4320034627|ref=harv}}
* {{Cite book|和書|last=高林|first=武彦|authorlink=高林武彦|url=http://www.saiensu.co.jp/?page=book_details&ISBN=ISBNsgc-2|title=量子力学とは何か|date=1999-01-01|publisher=[[サイエンス社]]|series=臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ|oclc=939470321|asin=B01FZ4D4HQ|id={{全国書誌番号|20312053}}。{{ISSN|0386-8257}}|ref=harv}}
* {{Cite book|first1=Claude|last1=Cohen-Tannoudj|first2=Bernard|last2=Diu|authorlink1=クロード・コーエン＝タヌージ|authorlink2=:fr:Bernard Diu|title=Quantum mechanics|publisher=Wiley|year=1977|ncid=BA03236991|oclc=908955541|asin=047116433X|isbn=978-0471164333|ref=harv}}
* {{Cite book|first1=Richard P.|last1=Feynmann|first2=Robert B.|last2=Leighton|first3=Matthew|last3=Sands|authorlink1=リチャード・P・ファインマン|authorlink2=ロバート・B・レイトン|authorlink3=:en:Matthew Sands|title=The Feynman lectures on physics|volume=III|publisher=Addison-Wesley Pub. Co|url=http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html|year=1963|oclc=986948265|ncid=BA1849900X|asin=B0007GPYH6|isbn=978-0201021189|ref=harv}}
* {{Cite book|first1=J. J.|last1=Sakurai|first2=Jim J.|last2=Napolitano|authorlink1=桜井純|title=Modern quantum mechanics|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|date=July 14, 2010|lccn=2010022349|ncid=BB02900772|oclc=641998678|asin=0805382917|isbn=978-0805382914|ref=harv}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat|Two-state quantum system}}
* [[量子ビット]]
* [[ブロッホ球]]
* [[ラビ振動]]
* {{仮リンク|二重項状態|en|Doublet state}}
* [[核磁気共鳴]]
* [[量子光学]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:にしようたいけい}} 
[[Category:量子力学]]