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'''31平均律'''（{{lang-en-short|31 equal temperament}}）は、31-tET, 31-EDO, 31-ET, とも略称され、[[オクターブ]]を31段の等間隔なステップ（等しい周波数比）に分割することにより得られる[[音律]]である。各ステップは周波数比 <math>2^{\frac{1}{31}}</math>( <math>\sqrt[31]{2}</math> )、または 1200/31 ≈ 38.70967742 [[セント (音楽)|セント]]である。

== 歴史 ==
[[オクターブ]]の31段への分割は、レッサー・ディエシス（オクターブと3重の長3度の比、128:125 あるいは 約41.059セント） は、ほぼ[[全音]]の1/5、あるいは[[半音]]の1/3である、というルネッサンス音楽理論から自然に起こった。

1666年にLemme Rossiが最初にこの平均律を提案し、その後まもなく、独自にそれを発見した有名な科学者[[クリスティアーン・ホイヘンス]]がこれに関し記述した。

この時代の標準的な[[調律]]のシステムが、5度が5<sup>1/4</sup>の周波数比に調整される[[中全音律#1/4コンマ中全音律|1/4コンマ中全音律]]であったが、31平均律はそれよりもわずかに約0.196セント広いだけの約696.774セントの音程を持つ。

ホイヘンスは、31平均律が7[[限界 (音楽)|限界]][[和声]]の素晴らしい近似を提供することに注目した。このことは当時先進的な洞察であった。

20世紀に至り、物理学者であり音楽理論家・作曲家でもあるAdriaan Fokkerは、ホイヘンスの著述を読み、この調律システムに対する関心の復活を導いた。

== スケール図 ==

これはスケールにおける31音程のうちの21である:

{| class="wikitable"
|align=center bgcolor="#ffeeee"|'''間隔 セント'''
|
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|39
|colspan=2 align=center bgcolor="#ffeeee"|77
|
|-
|align=center bgcolor="#fffbee"|'''音名'''
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|A
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|A#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|B♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|B
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|C♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|B#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|C
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|C#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|D♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|D
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|D#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|E♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|E
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|F♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|E#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|F
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|F#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|G♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|G
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|G#
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|A♭
|colspan=2 align=center bgcolor="#fffbee"|A
|-
|align=center bgcolor="#eeeeff"|'''音程 セント'''
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|&nbsp;&nbsp;0&nbsp;&nbsp;
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|&nbsp;77&nbsp;
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|116
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|194
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|232
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|271
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|310
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|387
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|426
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|503
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|581
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|619
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|697
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|735
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|774
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|813
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|890
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|929
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|<small>1006</small>
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|<small>1084</small>
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|<small>1123</small>
|colspan=2 align=center bgcolor="#eeeeff"|<small>1200</small>
|}

残りの十の音を加えることができる。例えば、5つの「重変」音および5つの「重嬰」音、あるいは四分音システムと同様に半嬰音や半変音を加える。

== 音程 ==

{| class="wikitable"
|align=center bgcolor="#ffffb4"|音程名
|align=center bgcolor="#ffffb4"|サイズ(段)
|align=center bgcolor="#ffffb4"|サイズ(cent)
|align=center bgcolor="#ffffb4"|純正比
|align=center bgcolor="#ffffb4"|純正(cent)
|align=center bgcolor="#ffffb4"|誤差(cent)
|-
|align=center|[[自然七度]]
|align=center|25
|align=center|{{#expr:1200*25/31 round 3}}
|align=center|7:4
|align=center|{{#expr:1200*ln(7/4)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(7/4)/ln2-25/31) round 3}}
|-
|align=center|完全五度
|align=center|18
|align=center|{{#expr:1200*18/31 round 3}}
|align=center|3:2
|align=center|{{#expr:1200*ln(3/2)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(3/2)/ln2-18/31) round 3}}
|-
|align=center|広い七[[限界 (音楽)|限界]]の[[三全音]]
|align=center|16
|align=center|{{#expr:1200*16/31 round 3}}
|align=center|10:7
|align=center|{{#expr:1200*ln(10/7)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(10/7)/ln2-16/31) round 3}}
|-
|align=center|狭い七限界の三全音
|align=center|15
|align=center|{{#expr:1200*15/31 round 3}}
|align=center|7:5
|align=center|{{#expr:1200*ln(7/5)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(7/5)/ln2-15/31) round 3}}
|-
|align=center|狭い十一限界の三全音
|align=center|14
|align=center|{{#expr:1200*14/31 round 3}}
|align=center|11:8
|align=center|{{#expr:1200*ln(11/8)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(11/8)/ln2-14/31) round 3}}
|-
|align=center|完全四度
|align=center|13
|align=center|{{#expr:1200*13/31 round 3}}
|align=center|4:3
|align=center|{{#expr:1200*ln(4/3)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(4/3)/ln2-13/31) round 3}}
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|十三限界の半減四度
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|12
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*12/31 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|13:10
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*ln(13/10)/ln2 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*(ln(13/10)/ln2-12/31) round 3}}
|-
|align=center|七限界の長三度
|align=center|11
|align=center|{{#expr:1200*11/31 round 3}}
|align=center|9:7
|align=center|{{#expr:1200*ln(9/7)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(9/7)/ln2-11/31) round 3}}
|-
|align=center|十一限界の長三度
|align=center|11
|align=center|{{#expr:1200*11/31 round 3}}
|align=center|14:11
|align=center|{{#expr:1200*ln(14/11)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(14/11)/ln2-11/31) round 3}}
|-
|align=center|長三度,純正
|align=center|10
|align=center|{{#expr:1200*10/31 round 3}}
|align=center|5:4
|align=center|{{#expr:1200*ln(5/4)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(5/4)/ln2-10/31) round 3}}
|-
|align=center|十一限界の中立三度
|align=center|9
|align=center|{{#expr:1200*9/31 round 3}}
|align=center|11:9
|align=center|{{#expr:1200*ln(11/9)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(11/9)/ln2-9/31) round 3}}
|-
|align=center|短三度,純正
|align=center|8
|align=center|{{#expr:1200*8/31 round 3}}
|align=center|6:5
|align=center|{{#expr:1200*ln(6/5)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(6/5)/ln2-8/31) round 3}}
|-
|align=center|七限界の短三度
|align=center|7
|align=center|{{#expr:1200*7/31 round 3}}
|align=center|7:6
|align=center|{{#expr:1200*ln(7/6)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(7/6)/ln2-7/31) round 3}}
|-
|align=center|七限界の全音
|align=center|6
|align=center|{{#expr:1200*6/31 round 3}}
|align=center|8:7
|align=center|{{#expr:1200*ln(8/7)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(8/7)/ln2-6/31) round 3}}
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|全音,大全音
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|5
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*5/31 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|9:8
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*ln(9/8)/ln2 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*(ln(9/8)/ln2-5/31) round 3}}
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|全音,小全音
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|5
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*5/31 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|10:9
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*ln(10/9)/ln2 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*(ln(10/9)/ln2-5/31) round 3}}
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|大きな十一限界の中立二度
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|4
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*4/31 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|11:10
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*ln(11/10)/ln2 round 3}}
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|{{#expr:1200*(ln(11/10)/ln2-4/31) round 3}}
|-
|align=center|小さな十一限界の中立二度
|align=center|4
|align=center|{{#expr:1200*4/31 round 3}}
|align=center|12:11
|align=center|{{#expr:1200*ln(12/11)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(12/11)/ln2-4/31) round 3}}
|-
|align=center|七限界の全音階的半音
|align=center|3
|align=center|{{#expr:1200*3/31 round 3}}
|align=center|15:14
|align=center|{{#expr:1200*ln(15/14)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(15/14)/ln2-3/31) round 3}}
|-
|align=center|全音階的半音,純正
|align=center|3
|align=center|{{#expr:1200*3/31 round 3}}
|align=center|16:15
|align=center|{{#expr:1200*ln(16/15)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(16/15)/ln2-3/31) round 3}}
|-
|align=center|半音階的半音,純正
|align=center|2
|align=center|{{#expr:1200*2/31 round 3}}
|align=center|25:24
|align=center|{{#expr:1200*ln(25/24)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(25/24)/ln2-2/31) round 3}}
|-
|align=center|十一限界のディエシス
|align=center|1
|align=center|{{#expr:1200*1/31 round 3}}
|align=center|45:44
|align=center|{{#expr:1200*ln(45/44)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(45/44)/ln2-1/31) round 3}}
|-
|align=center|七限界のディエシス
|align=center|1
|align=center|{{#expr:1200*1/31 round 3}}
|align=center|49:48
|align=center|{{#expr:1200*ln(49/48)/ln2 round 3}}
|align=center|{{#expr:1200*(ln(49/48)/ln2-1/31) round 3}}
|}

[[平均律#十二平均律|12平均律]]の中におおよその適合がなく、しかも[[19平均律]]では適合不良しかない7:6、8:7、および7:5の比率に、31平均律は非常に近い適合を示す。

特に、調和級数の7番目と11番目の部分音に対する良い一致のために、作曲家Joel Mandelbaum(1932年生まれ)は、この調律系を使用した。<ref>[http://links.jstor.org/sici?sici=0031-6016%28199124%2929%3A1%3C176%3ASACONT%3E2.0.CO%3B2-G ''Six American Composers on Nonstandard Tunnings: Douglas Keislar; Easley Blackwood; John Eaton; Lou Harrison; Ben Johnston; Joel Mandelbaum; William Schottstaedt'' Perspectives of New Music, Vol. 29, No. 1. (Winter, 1991), pp. 176-211.]</ref> 

この調律は中全音律であると考えることができる。そこには、4重の5度の重なりが長3度と同じであるという必要な特性がある。また、10:9(小全音)と9:8(大全音)のサイズの中間にある"中全音"を含む。

== 脚注 ==
<references />
== 関連項目 ==
* [[19平均律]] - 1/3コンマ中全音律への近似
* [[43平均律]] - 1/5コンマ中全音律への近似
* [[ゼンハーモニック音楽]]
* [[音律]]
** [[平均律]]
** [[純正律]]
** [[ピタゴラス音律]]
** [[中全音律]]

== 外部リンク ==
* [https://web.archive.org/web/20090403131616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/english/index.html de Beer, Anton, ''The Development of 31-tone Music'']（2009年4月3日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]）
* [https://web.archive.org/web/20090219004820/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/fokkerorg.html Fokker, Adriaan Daniel, ''Equal Temperament and the Thirty-one-keyed organ'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]）
* [https://web.archive.org/web/20090219000231/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/rap31.html Rapoport, Paul, ''About 31-tone Equal Temperament'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]）
* [https://web.archive.org/web/20090219004616/http://www.xs4all.nl/~huygensf/doc/terp31.html Terpstra, Siemen, ''Toward a Theory of Meantone (and 31-et) Harmony'']（2009年2月19日時点の[[インターネットアーカイブ|アーカイブ]]）
* Barbieri, Patrizio. [http://www.patriziobarbieri.it/1.htm Enharmonic instruments and music, 1470-1900]. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice

{{DEFAULTSORT:31へいきんりつ}}
[[Category:調律]]
[[Category:クリスティアーン・ホイヘンス]]