3j記号のソースを表示

[[ユージン・ウィグナー|ウィグナー]]の'''3j記号'''あるいは'''3jm記号'''は、[[クレブシュ-ゴルダン係数]]を用いて次のように表される係数である。

:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, (-m_3) \rangle.
</math>

== 逆変換の関係式 ==
''j''<sub>1</sub> - ''j''<sub>2</sub> - ''m''<sub>3</sub>が整数であることと、<math> m_3 \rightarrow -m_3 </math>という変換に注意すると、上記の式と逆にクレブシュ-ゴルダン係数は次のように3j記号で表される。

:<math>
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.
</math>

== 対称性 ==
3j記号の対称性は、クレブシュ-ゴルダン係数よりも便利である。3j記号は、列の偶置換に対して不変である。
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_3 & j_1\\
  m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_1 & j_2\\
  m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>
奇置換では、位相因子が現れる。
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_1 & j_3\\
  m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_3 & j_2\\
  m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>
量子数mの符号の反転に対しても、位相因子が現れる。
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.
</math>

== 選択則 ==

ウィグナーの3j記号は、次の関係式を全て満たさない限り、0となる。

:<math>m_1+m_2+m_3=0\,</math>

:<math>j_1+j_2 + j_3\,</math> が整数となる

:<math>|m_i| \le j_i</math> 

:<math>|j_1-j_2|\le j_3 \le j_1+j_2</math>.

== スカラー不変性 ==
3j記号と3つの回転状態の積の、mの組み合わせに対する以下の和
:<math>
  \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
  |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix},
</math>
は、回転に対して不変である。

== 直交性 ==
:<math>
(2j+1)\sum_{m_1 m_2}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j'\\
  m_1 & m_2 & m'
\end{pmatrix}
=\delta_{j j'}\delta_{m m'}.
</math>

:<math>
\sum_{j m} (2j+1)
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1' & m_2' & m
\end{pmatrix}
=\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}.
</math>

<!--未翻訳部分ここから
== Relation to integrals of spin-weighted spherical harmonics ==

<math>
\int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}})
{}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat
n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -s_1 & -s_2 & -s_3
\end{pmatrix}
</math>

This should be checked for phase conventions of the harmonics.
未翻訳部分ここまで-->

== 関連項目 ==
*[[クレブシュ-ゴルダン係数]]
*[[球面調和関数]]
*[[6j記号]]
*[[9j記号]]

== 文献 ==
<references />
<!-- ----------------------------------------------------------
  See http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Footnotes for a 
  discussion of different citation methods and how to generate 
  footnotes using the<ref>, </ref> and  <reference /> tags
----------------------------------------------------------- -->
<div class="references">
*L. C. Biedenharn and J. D. Louck, ''Angular Momentum in Quantum Physics'', volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
* D. M. Brink and G. R. Satchler, ''Angular Momentum'', 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993. 
* A. R. Edmonds, ''Angular Momentum in Quantum Mechanics'', 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
* D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, ''Quantum Theory of Angular Momentum'', World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
* E. P. Wigner, ''On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups'', unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, ''Quantum Theory of Angular Momentum'', Academic Press, New York (1965).
</div>

== 外部リンク ==
* [http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator] (Gives exact answer)
* [http://www.volya.net/vc/vc.php Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator] (Numerical)
* [http://plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html 369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science] (Numerical)

{{DEFAULTSORT:さんしえいきこう}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:回転対称性]]