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'''4つの4'''（よっつのよん）は、4つの[[4]]と数学記号を使い、さまざまな[[数]]（普通は整数）を作ることを目指す[[パズル]]（[[数学パズル]]）である。'''フォーフォーズ'''（Four fours）ともいう。

== 使用可能な記号 ==
日本の場合、一般的には以下の記号（演算）が使われているようである。
* [[四則演算]]
* [[小数点]]
* [[冪乗]]
* [[平方根]]
* [[階乗]]
* [[循環小数]]の循環節を表す点 <math>\left( .\dot4 = 0.\dot4=0.444 \cdots = \frac{4}{9} \right)</math>
以下の記号が用いられることもある。
* [[二重階乗]] !!（1または2からその数までの偶数のみまたは奇数のみの積）
* [[床関数|ガウス記号]]（小数点以下の端数を切り捨てる）
* [[ガンマ関数]]（xが整数ならばΓ(x)=(x-1)!）
* [[パーセント]]（4% = 0.04）
* Σ（その数までの和）

== 例 ==
=== 基本的な例 ===
{|
|-
|<math>44</math>
|<math>=44+4-4</math>
|・・・数を並べて2桁以上の数にしてもよい
|-
|
|<math>={{4 \times 4.4} \over .4}</math>
|・・・整数部分が0の小数はその0を省略できる
|-
|
|<math>=4!+4!- \sqrt{4} - \sqrt{4}</math>
|・・・階乗、平方根を使用した例
|}

=== 0から10までの例 ===
* 0 = 44 &minus; 44
* 1 = 44 ÷ 44
* 2 = 4 ÷ 4 + 4 ÷ 4
* 3 = (4 + 4 + 4) ÷ 4
* 4 = 4 + (4 &minus; 4) × 4
* 5 = (4 × 4 + 4) ÷ 4
* 6 = 4 + (4 + 4) ÷ 4
* 7 = 44 ÷ 4 &minus; 4
* 8 = 4 + 4 + 4 &minus; 4 = 4 × 4 &minus; 4 &minus; 4
* 9 = 4 + 4 + 4 ÷ 4
* 10 = (44 &minus; 4) ÷ 4

=== 記号を多用した例 ===
<math>
149 = \sqrt{\sqrt{\sqrt{{(\sqrt{4}/.4)}^{4!}}}} + 4!
</math>

== その他 ==
このパズルは1881年に科学雑誌「ノレッジ」に掲載されたものであり、1から1000まで（ただし、113、157、878、881、893、917、943、946、947を除く）の解答例が示された。解の示されていない113は、一般的に使われる記号（[[#使用可能な記号|使用可能な記号]]の節の循環小数まで）では表すことができないといわれている。後半の記号を使った解としては、
{{Indent|<math>\begin{align}
113&=\Gamma (\Gamma (4))-\frac{4!+4}{4}
\\&=\left(\frac{4!+4}{4} \right) !!+4!!
\\&=\Sigma \Sigma 4 \times \sqrt{4} + \Sigma 4 - \Sigma \sqrt{4}
\\&=[(4!+4.4) \times 4]
\end{align}</math>}}
などがあった。

[[対数関数]] <math>\log x</math>（底は任意でよい）または2変数関数としての[[対数]] <math>\log_x y</math> を用いてよい場合、次の式によって4つの4ですべての[[有理数]]が表現できる。
以下に正の有理数の場合を示すが、負の有理数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。
{{Indent|<math>
\frac{n}{m}=\frac{\log\Biggl(\log\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_n\Biggr)-\log(\log4)}{\log\Biggl(\log\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_m\Biggr)-\log(\log4)}
=\log_{\log_4\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_m}{\log_4\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_n}
</math>}}
さらに、3つの4ですべての整数が表現できる。
以下に正の整数の場合を示すが、やはり負の整数はマイナス記号で、0は四則演算で表現できる。
{{Indent|<math>
n=-\frac{\log\Biggl(\log\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_n\Biggr)-\log(\log4)}{\log\sqrt4}
=-\log_{\sqrt4}{\log_4\underbrace{\sqrt\sqrt{\cdots\sqrt4}}_n}
</math>}}

似た問題に、その年の数字（2004年なら 2,0,0,4）を使って数を作る遊びもある。

== 関連項目 ==
* [[小町算]]

{{DEFAULTSORT:よつつのよん}}

[[Category:数学パズル]]
[[Category:数学に関する記事|/4よつつのよん]]
[[Category:名数4|よん]]