4元電流密度のソースを表示

{{出典の明記|date=2023年9月}}
'''4元電流密度'''（よんげんでんりゅうみつど、{{Lang-en|four-current}}）とは、[[電荷密度]]と[[電流密度]]を[[特殊相対性理論|相対論的]]な[[時空]]における[[4元ベクトル]]として記述したものである。

4元電流密度は[[ローレンツ変換]]の下で[[ベクトル]]{{要曖昧さ回避|date=2021年7月}}として変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 {{mvar|&rho;}}、空間成分が電流密度 {{mvar|'''j'''}} であり
{{Indent|
<math>j^\mu = (\rho c, \boldsymbol{j})</math>
}}
と書かれる。[[光速度]] {{mvar|c}} により電荷密度の[[量の次元|次元]]が電流密度の次元に換算される。

== 基礎方程式 ==
電荷の保存則を表す[[連続の方程式]]は、4元ベクトルの[[発散 (ベクトル解析)|発散]]
{{Indent|
<math>\partial_\mu j^\mu = 0</math>
}}
の形で書かれる。

4元電流密度は[[電磁場]]の源（[[ソース]]{{要曖昧さ回避|date=2024年12月}}）であり[[マクスウェルの方程式]]
{{Indent|
<math>\partial_\nu F^{\nu\mu}
 =\partial_\nu\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu\partial_\nu A^\nu =-\mu_0 j^\mu</math>
}}
を満たす。ここで {{mvar|F}} は[[電磁場テンソル]]、{{mvar|A}} は[[電磁ポテンシャル]]である。また {{math|''&mu;''{{sub|0}}}} は[[磁気定数]]である。

また、4元電流密度は、電磁場から[[ローレンツ力]]
{{Indent|
<math>f_\mu = j^\nu F_{\nu\mu}</math>
}}
を受ける。

== ラグランジュ形式 ==
{{Main|古典電磁気学の共変定式#電磁気学のラグランジュ形式}}
物質 {{mvar|X}} と電磁場 {{mvar|A}} が相互作用する系の[[作用積分]]は
{{Indent|
<math>S_X[X] +S_A[A] +S_\text{int}[X,A]</math>
}}
と書かれる。相互作用項 {{math|''S''{{sub|int}}}} は一般に
{{Indent|
<math>S_\text{int}[X,A] =\frac{1}{c}\int j^\mu A_\mu(x) \sqrt{-g}\, d^4x</math>
}}
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
{{Indent|
<math>j^\mu(x) =\frac{c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_\text{int}[X,A]}{\delta A_\mu(x)}</math>
}}
と表される。

微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 {{mvar|X}} の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。

=== 古典粒子 ===
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。
位置 {{mvar|X{{sub|i}}}} にある粒子が電荷 {{mvar|q{{sub|i}}}} を帯びているとき、作用汎関数は
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
S_\text{int}[X,A] &=\sum_i q_i \int \frac{dX_i^\mu}{d\lambda} A_\mu(X_i)\, d\lambda \\
 &=\int \sum_i q_i \int d\lambda \left( \frac{dX_i^\mu}{d\lambda}\, \delta^4(X_i(\lambda)-x) \right) A_\mu(x)\, d^4x \\
\end{aligned}</math>
}}
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
{{Indent|
<math>j^\mu(x) =\sum_i \frac{q_ic}{\sqrt{-g}} \int \dot{X}_i^\mu(\lambda)\, \delta^4(X_i(\lambda)-x)\, d\lambda</math>
}}
である。
{{See also|相対論的力学}}

=== フェルミ粒子 ===
量子論的なフェルミ粒子の系は、[[ディラック場]] {{mvar|&psi;}} で記述される。質量が {{mvar|m}} の自由なフェルミ粒子の運動項は
{{Indent|
<math>S_\psi[\psi] =\int \left[ i\bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m \bar\psi \psi(x)
 \right]\, d^4x</math>
}}
で与えられる。ここで {{mvar|&gamma;}} は[[ガンマ行列]]である。

フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、[[ゲージ理論]]に基づいて、微分を[[ヤン＝ミルズ理論#共変微分|共変微分]]へ置き換える最小結合の理論で記述される。
従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は
{{Indent|
<math>S_\psi[\psi] +S_\text{int}[\psi,A]
 =\int \left[ i\bar\psi \gamma^\mu(\partial_\mu-ie A_\mu Q)\psi(x) -m \bar\psi \psi(x) \right]\, d^4x</math>
}}
の形となる。ここで {{mvar|e}} は[[電磁相互作用]]の[[結合定数 (物理学)|結合定数]]である[[電気素量]]である。また、{{mvar|Q}} はディラック場 {{mvar|&psi;}} の {{math|U(1){{sub|em}}}} の下での変換性を表す[[チャージ (物理学)|チャージ]]である。

従って相互作用項は
{{Indent|
<math>S_\text{int}[\psi,A] =e \int \bar\psi Q\gamma^\mu\psi(x) A_\mu(x)\, d^4x</math>
}}
であり、4元電流密度は
{{Indent|
<math>j^\mu(x) = e\bar\psi Q\gamma^\mu\psi(x)</math>
}}
となる。
{{See also|量子電磁力学}}
<!--
== 脚注 ==
<references/>-->

== 関連項目 ==
* [[電荷の保存則]]
* [[ネーターの定理]]
* [[古典電磁気学の共変定式]]
* [[マクスウェルの方程式]]
* [[電磁場]]
* [[電磁ポテンシャル]]

{{sci-stub}}
{{電磁気学}}

{{DEFAULTSORT:よんけんてんりゆうみつと}}
[[Category:電磁気学]]
[[Category:密度]]