5040のソースを表示

{{整数|Decomposition=2<sup>4</sup>×3<sup>2</sup>×5×7}}
'''5040'''（'''五千四十'''、ごせんよんじゅう）は[[自然数]]、また[[整数]]において、[[5039]]の次で[[5041]]の前の数である。

== 性質 ==
* 5040は[[合成数]]であり、[[約数]]は[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]], [[9]], [[10]], [[12]], [[14]], [[15]], [[16]], [[18]], [[20]], [[21]], [[24]], [[28]], [[30]], [[35]], [[36]], [[40]], [[42]], [[45]], [[48]], [[56]], [[60]], [[63]], [[70]], [[72]], [[80]], [[84]], [[90]], [[105]], [[112]], [[120]], [[126]], [[140]], [[144]], [[168]], [[180]], [[210]], [[240]], [[252]], [[280]], [[315]], [[336]], [[360]], [[420]], [[504]], [[560]], [[630]], [[720]], [[840]], [[1008]], [[1260]], [[1680]], [[2520]], 5040である。
** [[約数の和]]は19344。
* 19番目の[[高度合成数]]であり、約数を60個持つ。1つ前は2520、次は[[7560]]。
** 自身より小さい全ての高度合成数を約数にもつ最大の高度合成数である。1つ前は720。({{OEIS|A136253}})
* 5040 = 1 &times; 2 &times; 3 &times; 4 &times; 5 &times; 6 &times; 7
** 7番目の[[階乗|階乗数]] (7!) である。1つ前は720、次は[[40320]]。
** 7連続整数の積で表せる最小の数である。次は40320。
** 異なる7つの物を一列に並べる並べ方は5040通りである。(→[[順列]])
** [[素数]] ''p'' = 7 のときの ''p''! とみたとき1つ前は120、次は39916800。({{OEIS|A039716}})
* 5040 = 2 &times; 3 &times; 4 &times; 5 &times; 6 &times; 7
** 6連続整数の積で表せる2番目の数である。1つ前は720、次は[[20160]]。
* 5040 = 7 &times; 8 &times; 9 &times; 10
** 4連続整数の積で表せる7番目の数である。1つ前は[[3024]]、次は7920。
** ''n'' = 10 のときの {{sfrac|''n''!|6!}} の値とみたとき1つ前は504、次は[[55440]]。({{OEIS|A001730}})
*20までの10個の[[偶数]]（2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20）の[[最小公倍数]]である。1つ前の18までも5040、2つ前の16までは1680、次の[[22]]までは55440。
* 906番目の[[ハーシャッド数]]である。1つ前は5031、次は5044。
* 5040 = 2{{sup|4}} × 3{{sup|2}} × 5 × 7
** 4つの異なる[[素因数]]の積で ''p'' {{sup|4}} × ''q'' {{sup|2}} × ''r'' × ''s'' の形で表せる最小の数である。次は7920。
* 5040 = 71{{sup|2}} &minus; 1
** ''n'' = 71 のときの ''n'' {{sup|2}} &minus; 1 とみたとき1つ前は4899、次は5183。
** ''n'' {{sup|2}} &minus; 1 の形で表せる3番目（最大）の階乗数である。1つ前は120。
*異なる10個の物の中から4つ選んで並べる並べ方は5040通りである。
** {{sub|10}}P{{sub|4}} = 10 × 9 × 8 × 7 
* 5040は以下の式を満たす整数のうち知られている中では最大の数である。σ は[[約数関数]]を表す。
:<math>\sigma(n) \geq e^\gamma n\log \log n </math> （γ: [[オイラー定数]]）
:実際の値は <math>\sigma(5040) = 19344 \,</math> 、<math> e^\gamma \cdot 5040 \cdot \log \log 5040 = 19237.84996... \,</math> である。
{{indent|
* ''n'' > 5040において上記の不等式が全ての ''n'' において偽ならば[[リーマン予想]]は真であることが Guy Robin によって[[1984年]]に証明された。
}}
* 約数の和が5040になる数は33個ある。(1560, 1740, [[1824]], 1836, [[1992]], 2148, 2214, 2262, 2296, 2392, 2470, 2492, 2514, 2528, 2596, 2668, 2876, 3058, 3154, 3471, 3567, 3777, 3835, 3895, 4147, 4195, 4199, 4609, 4667, 4769, 4843, 4897, 5039) 約数の和33個で表せる最小の数である。次は13680。
* 連続してある数に対して約数の和を求めていった場合87個の数が5040になる。5040より小さい数で87個ある数はない。1つ前は4800 (79個) 、次は6552 (92個) 。言いかえると <math>\sigma^m(n)=5040~(m\geqq 1)</math> を満たす ''n'' が87個あるということである。(ただし σ は約数関数) ({{OEIS|A241954}})

== その他 5040 に関連すること ==
* 1 [[週間]]の半分は 5040 （= 7 [[日]] × 24 時間/日 × 60 [[分]]/[[時間 (単位)|時間]] / 2）分である。
* 5040° は 14 回転の角度に相当する (5040° = 14 × 360°)。
* 5040 個は 35 [[グロス]]である (5040 = 35 × 144)。

== 脚注 ==
<references />

== 関連項目 ==
* [[数の一覧]]