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{{整数|Decomposition=3{{sup|4}}}}
'''81'''（'''八十一'''、'''八一'''、はちじゅういち、やそひと、やそじあまりひとつ）は、[[自然数]]また[[整数]]において、[[80]]の次で[[82]]の前の数である。

== 性質 ==
*81は[[合成数]]であり、[[約数]]は[[1]], [[3]], [[9]], [[27]], 81である。
**[[約数の和]]は[[121]]。
**約数の和が奇数になる15番目の数である。1つ前は[[72]]、次は[[98]]。
**約数の和が[[平方数]]になる6番目の数である。1つ前は[[70]]、次は[[94]]。
***平方数のうち約数の和も平方数になる2番目の数である。1つ前は1、次は[[400]]。（{{OEIS|A08848}}）
** 約数の和が[[回文数]]になる8番目の数である。1つ前は[[43]]、次は[[96]]。({{OEIS|A028980}})
** [[約数関数]]から導き出される数列 <math>a_n=\sigma(a_{n-1})</math> はその初期値によって異なる数列になる。異なる数列になる12番目の初期値(最小の値)を表す数である。1つ前は[[66]]、次は[[85]]。(ただし1を除く)({{OEIS|A257348}})
**約数を5個もつ2番目の数である。1つ前は[[16]]、次は[[625]]。
*{{sfrac|1|81}} = 0.{{underline|012345679}}… (下線部は循環節で長さは9)<ref>[https://www.zhengjian.org/node/59158 正見網　2009年4月24日　「算術漫談　m/81の十進小数一覧」]</ref>
**[[逆数]]が[[循環小数]]になる数で[[循環節]]が9になる最小の数である。次は[[162]]。
**循環節が ''n'' になる最小の数である。1つ前の8は[[73]]、次の10は[[451]]。({{OEIS|A003060}})
** 3{{sup|-n}} の循環節は、1つ前の {{sfrac|1|27}} が3桁（3{{sup|3-2}} = 3{{sup|1}}）、次の {{sfrac|1|[[243]]}} が27桁（3{{sup|5-2}} = 3{{sup|3}}）になる。
*9番目の平方数である。1つ前は[[64]]、次は[[100]]。
** ''n'' = 2 のときの 9{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は9、次は[[729]]。
*81 = (3 × 3){{sup|2}}
**''n'' = 3 のときの (3''n''){{sup|2}} の値とみたとき1つ前は[[36]]、次は[[144]]。({{OEIS|A016766}})
*81 = (8 + 1){{sup|2}}
** 自身の数の並びを変えないで区切った2つの数の和の[[自乗|平方]]が自身になる2番目の数である。1つ前は1、次は100。({{OEIS|A102766}})
***2桁の整数の中で各位の和の平方が元の数と同じになる唯一の数である。
** 81 = (8{{sup|1}} + 1{{sup|2}}){{sup|2}} 、この形の1つ前は1、次は[[441]]。({{OEIS|A270538}})
*81 = (8 + 1) × 9 
**各位の和と、その和の数の数字の並び順を逆にした数との積が元の数に一致するという性質をもつ自然数である。1つ前は1、次は[[1458]]。
***この数は 1458 (1 + 4 + 5 + 8 = 18, 18 × 81 = 1458) と [[1729]] (1 + 7 + 2 + 9 = 19, 19 × 91 = 1729) しかない。（{{OEIS|A110921}}）
*3番目の[[4乗数]]（[[二重平方数]]）である。1つ前は16、次は[[256]]。
** ''n'' = 4 のときの 3{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は27、次は[[243]]。
** ''n'' = 1 のときの 3{{sup|4''n''}} の値とみたとき1つ前は1、次は[[6561]]。({{OEIS|A089683}})
** [[素数]] ''p'' = 3 のときの ''p''{{sup|4}} の値とみたとき1つ前は16、次は625。({{OEIS|A030514}})
** ''n'' = 2 のときの 3{{sup|''n''{{sup|2}}}} の値とみたとき1つ前は3、次は[[19683]]。({{OEIS|A060722}}) 
** ''n'' = 3 のときの ''n''{{sup|''n''+1}} の値とみたとき1つ前は[[8]]、次は[[1024]]。
* 81 = 3 × 3{{sup|3}}
** ''n'' = 3 のときの ''n'' × 3{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は[[18]]、次は[[324]]。({{OEIS|A036290}})
** ''n'' = 3 のときの 3''n''{{sup|3}} の値とみたとき1つ前は[[24]]、次は[[192]]。({{OEIS|A117642}})
** 81 = 3{{sup|3}} + 3{{sup|3}} + 3{{sup|3}}
*** 3つの[[正の数]]の[[立方数]]の和1通りで表せる13番目の数である。1つ前は[[80]]、次は[[92]]。({{OEIS|A025395}})
*次のような[[連分数]]表示をもつ（下線部は循環節。その長さは3である）。
**<math>\frac{10}{81} =\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}</math> ({{underline|8, 9, 1}})
*6番目の[[七角数]]である ( 81 = 6(5 × 6 − 3) / 2 ) 。1つ前は[[55]]、次は[[112]]。
*[[トリボナッチ数]]である。1つ前は[[44]]、次は[[149]]。なお、81は<math>\sqrt{81}</math>番目（=9番目）にあたる。
**トリボナッチ数が平方数となる3番目の数である。1つ前は[[4]]、次は[[3136]]。
*6番目の[[完全トーシェント数]]である。1つ前は[[39]]、次は[[111]]。3の冪数は全て完全トーシェント数でもある。
*十進法では、81の冪数は下二桁が 61→41→21→01→81 で循環する。
**81{{sup|2}} = 6561、81{{sup|3}} = 531441、81{{sup|4}} = 43046721、81{{sup|5}} = 3486784401、81{{sup|6}} = 282429536481
*''n'' = 81 のときの ''n'' × 2{{sup|''n''}} &minus; 1 で表せる 81 × 2{{sup|81}} &minus; 1 は6番目の[[ウッダル数#ウッダル素数|ウッダル素数]]である。
**このような性質をもつ平方数としては81が最小で、他にこのような平方数は知られていない。({{OEIS|A002234}})
*30番目の[[ハーシャッド数]]である。1つ前は[[80]]、次は[[84]]。
**9を基とする9番目の[[ハーシャッド数]]である。1つ前は[[72]]、次は[[90]]。
**''n'' を基とする ''n'' 番目の[[ハーシャッド数]]である。1つ前は[[1016]]、次は[[1090]]。（{{OEIS|A82260}}）
**平方数がハーシャッド数になる5番目の数である。1つ前は36、次は100。
**4乗数がハーシャッド数になる2番目の数である。1つ前は1、次は[[1296]]。
* 各位の積が8になる5番目の数である。1つ前は[[42]]、次は[[118]]。({{OEIS|A199989}})
*[[九九]]では 9 の段で 9 × 9 = 81（くくはちじゅういち）と1通りで表される。九九に現れる整数のうち最大の数である。
* 81 = 5 × 2{{sup|4}} + 1 より12番目の[[プロス数]]である。1つ前は[[65]]、次は[[97]]。
*81 = 1{{sup|2}} + 4{{sup|2}} + 8{{sup|2}} = 3{{sup|2}} + 6{{sup|2}} + 6{{sup|2}} = 4{{sup|2}} + 4{{sup|2}} + 7{{sup|2}}
** 3つの平方数の和3通りで表せる3番目の数である。1つ前は66、次は[[86]]。({{OEIS|A025323}})
*81 = 1{{sup|2}} + 4{{sup|2}} + 8{{sup|2}}
** 異なる3つの平方数の和1通りで表せる24番目の数である。1つ前は[[78]]、次は[[83]]。({{OEIS|A025339}})
** ''n'' = 2 のときの 1{{sup|''n''}} + 4{{sup|''n''}} + 8{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は[[13]]、次は[[577]]。({{OEIS|A074514}})
* 81 = 4{{sup|3}} + 4{{sup|2}} + 1
** ''n'' = 4 のときの ''n''{{sup|3}} + ''n''{{sup|2}} + 1 の値とみたとき1つ前は[[37]]、次は[[151]]。({{OEIS|A098547}})
*9乗した数の各位の和が元の数になる最大の数である。1つ前は[[71]]。
*:81{{sup|9}} = 150094635296999121 → 1 + 5 + 0 + 0 + 9 + 4 + 6 + 3 + 5 + 2 + 9 + 6 + 9 + 9 + 9 + 1 + 2 + 1 = 81。
** ''n'' = 9 のときの ''n'' 乗した数の各位の和が元の数になる最大の数とみたとき1つ前の8乗は[[63]]、次の10乗は[[117]]。({{OEIS|A046000}})
* 81 = 1{{sup|3}} &minus; 2{{sup|3}} + 3{{sup|3}} &minus; 4{{sup|3}} + 5{{sup|3}}
** ''n'' = 5 のときの |1{{sup|3}} &minus; 2{{sup|3}} + … + (&minus;1){{sup|''n''+1}} ''n''{{sup|3}}| の値とみたとき1つ前は[[44]]、次は[[135]]。(ただし| |は[[絶対値]]記号)({{OEIS|A011934}})
** [[正の数]]の値とみたとき1つ前は[[20]]、次は[[208]]。
* ''n''{{sup|3}} の数を降順に並べた数とみたとき1つ前は1、次は2781。({{OEIS|A038398}})
* 81 = 15{{sup|2}} &minus; 144
** ''n'' = 15 のときの ''n''{{sup|2}} &minus; 12{{sup|2}} の値とみたとき1つ前は[[52]]、次は[[112]]。({{OEIS|A132766}})
*各位の和([[数字和]])が 9 になる 9 番目の数である。1つ前は72、次は90。
**各位の和が ''n'' になる ''n'' 番目の数である。1つ前は71、次は[[109]]。（{{OEIS|A181178}}）

=== 他の進数での性質 ===
*{{sfrac|1|81}} = 0.{{underline|012345679}}… (下線部は循環節で長さは9)
**[[素因数]]に[[3]]が含まれている[[位取り記数法|N進法]]では、[[逆数]]は[[有限小数]]になる。
*** [[六進法]]では {{sfrac|1|213}} = 0.0024、[[十二進法]]では {{sfrac|1|69}} = 0.0194 となり、小数第四位までとなる。
*** [[十八進法]]では {{sfrac|1|49}} = 0.04 となり、小数第二位までとなる。
***「3の冪数」進法では、[[三進法]]では {{sfrac|1|10000}} = 0.0001 となり、[[九進法]]では {{sfrac|1|100}} = 0.01 となる。
*81{{sub|(10)}}の冪数は、六進法では下四桁が同じ、十二進法と十八進法では下二桁が同じになる。
** 六進法では213{{sup|2}} = 50213 で下四桁が0213となり、213→5'''0213'''→1522'''0213'''→413435'''0213'''の順に増える。よって、全ての213{{sub|(6)}}の冪数の下四桁もまた0213{{sub|(6)}}となる。
** 十二進法では69→39'''69'''→2176'''69'''→124BB3'''69'''、十八進法では49→12'''49'''→512'''49'''→14E12'''49'''の順に増える。
*六進法では、16{{sub|(10)}} (= 24{{sub|(6)}}) の倍数は81{{sub|(10)}} (= 213{{sub|(6)}}) 種類、81{{sub|(10)}}の倍数も16{{sub|(10)}}種類であり、下四桁で判別する（十進法：16 × 81 = 1296 = 6{{sup|4}}。六進法：24 × 213 = 10000 = 10{{sup|4}}）。16{{sub|(10)}}の倍数の例：1504{{sub|(6)}} = 400{{sub|(10)}}。81{{sub|(10)}}の倍数の例：4043{{sub|(6)}} = [[800|891]]{{sub|(10)}}。

== その他 81 に関すること ==
{{雑多な内容の箇条書き|date=2014年8月|section=1}}

*[[原子番号]] 81 の元素は、[[タリウム]] (Tl)。
*第81代[[天皇]]は、[[安徳天皇]]。
*第81代[[内閣総理大臣]]は、[[村山富市]]。
*第81代[[教皇|ローマ教皇]]は[[ベネディクトゥス2世 (ローマ教皇)|ベネディクトゥス2世]]（在位：[[684年]][[6月26日]]～[[685年]][[5月8日]]）である。
*年始から81日目、[[平年]]は[[3月22日]]、[[閏年]]は[[3月21日]]。
*｢[[鉄塔 武蔵野線]]｣に登場する武蔵野線の最終号基は81。正式には90基目だが、間に枝番（作品中では"のいち"）が9基ある。
*[[クルアーン]]における第81番目の[[スーラ (クルアーン)|スーラ]]は[[包み隠す (クルアーン)|包み隠す]]である。
*[[国際電話番号]]の 81 は、[[日本]]。
*[[バーコード]]規格、[[EANコード|EAN]] の国コード81は、[[イタリア]]。
*81歳を希に「半寿」ということがある。（八 + 十 + 一 = 半）
*[[将棋盤]]の升は全部で 9 × 9 = 81個。このことから、[[将棋界]]では81歳を「[[盤寿]]」ともいう。
*[[姓名判断]]では、[[画数]]81以降は 1 と同じと解釈する。
*[[81プロデュース]]は、[[声優]]のマネージメントを行う事務所。
*第81[[師団]]
**[[第81師団 (日本軍)|第81師団]]（[[大日本帝国陸軍]]）
**[[武装警察第81師団]]（[[中華人民共和国|中国]]）
*[[シンクレア ZX81]]は、[[シンクレア・リサーチ]]の[[ホームコンピュータ]]。
*[[シャドー81]]は、[[ルシアン・ネイハム]]の航空[[サスペンス]]小説。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{数字2桁|8|}}
*[[8月1日]]

{{自然数}}