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{{整数|Decomposition=（[[素数]]）}}
'''89'''（'''八十九'''、はちじゅうく、はちじゅうきゅう、やそじあまりここのつ）は[[自然数]]、また[[整数]]において、[[88]]の次で[[90]]の前の数である。

== 性質 ==
*89 は24番目の[[素数]]である。1つ前は[[83]]、次は[[97]]。
**[[約数の和]]は[[90]]。
*{{sfrac|1|89}} = 0.{{underline|01123595505617977528089887640449438202247191}}… (下線部は[[循環節]]で長さは44)
**[[逆数]]が[[循環小数]]になる数で[[循環節]]が44になる最小の数である。次は[[178]]。
**循環節が ''n'' になる最小の数である。1つ前の43は[[173]]、次の45は2511。({{OEIS|A003060}})
* 89 = 89 + 0 × ''ω'' (''ω''は1の虚立方根)
** a + 0 × ''ω'' (a > 0) で表される13番目の[[アイゼンシュタイン整数#アイゼンシュタイン素数|アイゼンシュタイン素数]]である。1つ前は[[71]]、次は89。
*''n'' 番目の[[フィボナッチ数]]を ''F{{sub|n}}'' とすると、<math>\frac{1}{89} =\sum_{n=1}^\infty {F_n \times 10^{-(n+1)}}</math> という関係になる。
<blockquote>
<pre>
0. 0
    1
     1
      2
       3
        5
         8
         13
          21
           34
            55
             89
             144
              233
+             .......
---------------------------------------------------
0. 011235955056179775280...
</pre>
* ''n'' = 1 のときの 100{{sup|''n''}} &minus; 10{{sup|''n''}} &minus; 1 の値とみたとき最小、次は9899。({{OEIS|A086695}}) 
</blockquote>
*''p'' = 89 のときの 2{{sup|''p''}} &minus; 1 で表される 2{{sup|89}} &minus; 1 は10番目の[[メルセンヌ数|メルセンヌ素数]]である。1つ前は[[61]]、次は[[107]]。<br>2{{sup|89}} &minus; 1 = 618970019642690137449562111
*11番目のフィボナッチ数である。1つ前は[[55]]、次は[[144]]。
**5番目の[[フィボナッチ素数]]である。1つ前は[[13]]、次は[[233]]。
*10番目の[[ソフィー・ジェルマン素数]]である。89 × 2 + 1 = [[179]] もまた素数となる。1つ前は[[83]]、次は[[113]]。また、179 もソフィー・ジェルマン素数である。
* 8 と 9 を使った最小の素数である。次は8999。({{OEIS|A020472}})
** 89…9 の形の最小の素数である。次は8999。({{OEIS|A093948}})
** 8…89 の形の最小の素数である。次は88888888888889。({{OEIS|A093405}})
* 素数と次の素数[[97]]の間隔(8)が以前の数よりも大きくなる5番目の素数である。1つ前は[[23]]-[[29]](間隔は6)、次は[[113]]-[[127]](間隔は14)({{OEIS2C|A002386}}-{{OEIS2C|A000101}})
*√{{overline|8000}} に最も近い整数である。√{{overline|8000}} = 89.44721…。89{{sup|2}} = 7921, 90{{sup|2}} = 8100。
*89 = (8 + 9) + (8 × 9)
**[[各位の和]]と各位の積を加えてできる8番目の数である。1つ前は[[79]]、次は[[99]]。({{OEIS|A038364}})
*[[各位の和]]が[[17]]になる最小の数である。次は[[98]]。
**各位の和が ''n'' になる最小の数である。1つ前の16は[[79]]、次の18は[[99]]。({{OEIS|A051885}})
**各位の和が17になる数で[[素数]]になる最小の数である。次は[[179]]。({{OEIS|A106758}})
*各位の[[平方和]]が145になる最小の数である。次は[[98]]。({{OEIS|A003132}})
** 各位の平方和が ''n'' になる最小の数である。1つ前の144は[[488]]、次の146は[[189]]。({{OEIS|A055016}})
*89 = 8{{sup|1}} + 9{{sup|2}} 。この形の1つ前は[[9]]、次は[[135]]。(参照{{OEIS|A032799}})
**2桁の数でこのような性質をもつ数は89だけである。
** 89 = 3{{sup|4}} + 8
*** ''n'' = 4 のときの 3{{sup|''n''}} + 8 の値とみたとき1つ前は[[35]]、次は[[251]]。
**** 3{{sup|''n''}} + 8 の形の3番目の素数である。1つ前は[[17]]、次は[[251]]。({{OEIS|A102903}})
* 連続[[自然数]]を昇順に並べてできる8番目の数である。1つ前は[[78]]、次は[[123]]。({{OEIS|A035333}})
** 2つの連続自然数を昇順に並べた数とみたとき、次は[[910]]。({{OEIS|A001704}})
**2つの連続自然数を昇順に並べてできる3番目の[[素数]]である。1つ前は[[67]]、次は1213。({{OEIS|A030458}})
**1桁の連続整数を昇順に並べてできる7番目の[[素数]]である。ただし1桁の素数を除くと3番目である。1つ前は[[67]]、次は4567。({{OEIS|A006055}})
*** 8からの連続整数を昇順に並べてできる最小の素数とみたとき、次は891011…148149。
***''n'' からの連続整数を昇順に並べてできる最小の素数とみたとき1つ前の7からは78910111213、次の9からは91011…185186187。({{OEIS|A140793}})
*89 = 5<sup>2</sup> + 8<sup>2</sup>
** 異なる2つの[[平方数]]の和で表せる26番目の数である。1つ前は[[85]]、次は[[90]]。({{OEIS|A004431}})
** ''n'' = 2 のときの 5{{sup|''n''}} + 8{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は[[13]]、次は[[637]]。({{OEIS|A074617}})
*89 = 2{{sup|2}} + 2{{sup|2}} + 9{{sup|2}} = 2{{sup|2}} + 6{{sup|2}} + 7{{sup|2}} = 3{{sup|2}} + 4{{sup|2}} + 8{{sup|2}}
** 3つの[[平方数]]の和3通りで表せる5番目の数である。1つ前は[[86]]、次は[[99]]。({{OEIS|A025323}})
**89 = 2<sup>2</sup> + 6<sup>2</sup> + 7<sup>2</sup> = 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> + 8<sup>2</sup>
*** 異なる3つの[[平方数]]の和2通りで表せる6番目の数である。1つ前は[[86]]、次は[[90]]。({{OEIS|A025340}})
**89 = 2<sup>2</sup> + 6<sup>2</sup> + 7<sup>2</sup>
*** ''n'' = 2 のときの 2{{sup|''n''}} + 6{{sup|''n''}} + 7{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は[[15]]、次は[[567]]。({{OEIS|A074541}})
**89 = 3<sup>2</sup> + 4<sup>2</sup> + 8<sup>2</sup>
*** ''n'' = 2 のときの 3{{sup|''n''}} + 4{{sup|''n''}} + 8{{sup|''n''}} の値とみたとき1つ前は[[15]]、次は[[603]]。({{OEIS|A074550}})
* 7番目の[[マルコフ数]]である。1つ前は[[34]]、次は[[169]]。
** 1{{sup|2}} + 34{{sup|2}} + 89{{sup|2}} = 3 × 1 × 34 × 89
* 89 = 91{{sup|1}} &minus; 2{{sup|1}} = 91{{sup|2}} &minus; 2{{sup|13}}
** ''a'' > 1 , ''b'' > 1 のとき ''a''{{sup|''x''}} &minus; ''b''{{sup|''y''}} = c を成り立たせる自然数 ''x'' , ''y'' の解を2つもつ8番目の数である。1つ前は[[13]]、次は[[275]]。({{OEIS|A236211}})
* 89 = 9{{sup|2}} + 9 &minus; 1 = 10{{sup|2}} &minus; 10 &minus; 1
** ''n'' = 9 のときの ''n''{{sup|2}} + ''n'' &minus; 1 の値とみたとき1つ前は[[71]]、次は[[109]]。({{OEIS|A028387}})
*** この形の7番目の素数である。1つ前は[[71]]、次は[[109]]。({{OEIS|A002327}})
** 89 = 3{{sup|4}} + 3{{sup|2}} &minus; 1
*** ''n'' = 3 のときの ''n''{{sup|4}} + ''n''{{sup|2}} &minus; 1 の値とみたとき1つ前は[[19]]、次は[[271]]。
**** ''n''{{sup|4}} + ''n''{{sup|2}} &minus; 1 の形の2番目の素数である。1つ前は[[19]]、次は[[271]]。({{OEIS|A174819}})

== その他 89 に関すること ==
* [[原子番号]] 89 の[[元素]]は[[アクチニウム]] (Ac) である。
* 第89代[[天皇]]は[[後深草天皇]]。
* 日本の89代目の[[内閣総理大臣]]は、[[小泉純一郎]]。
* 第89代[[教皇|ローマ教皇]]は[[グレゴリウス2世 (ローマ教皇)|グレゴリウス2世]]（在位：[[715年]][[5月19日]]～[[731年]][[2月11日]]）である。
* [[クルアーン]]における第89番目の[[スーラ (クルアーン)|スーラ]]は[[暁 (クルアーン)|暁]]である。
* [[自衛隊]]、[[海上保安庁]]、[[警察]]で使用されている[[89式5.56mm小銃]]。
* 陸上自衛隊で使用されている[[89式装甲戦闘車]]。
* [[北海道]]産の[[イネ]]の品種の一つ。[[八十九 (米のブランド)]]。
* [[3月30日]]は、[[平年]]の場合[[1月1日]]から数えて89日目に当たる。

=== 歴史上の「89」 ===
*[[1189年]] - （[[日本]]）[[源義経]]が[[平泉]]で自害。義経をかくまった[[奥州藤原氏]]も滅ぶ。
*[[1389年]] - （[[バルカン半島]]）[[コソボの戦い]]。[[セルビア王国 (中世)|セルビア]]、[[オスマン帝国]]の[[保護国]]となる。
*[[1689年]] - （[[イギリス]]）[[名誉革命]]の結果、[[ウィリアム3世 (イングランド王)|ウィリアム3世]]と[[メアリー2世 (イングランド女王)|メアリ2世]]が即位。
*[[1789年]] - （[[フランス]]）[[バスティーユ牢獄]][[バスティーユ襲撃|襲撃]]。[[フランス革命]]始まる。
*[[1889年]] - （日本）[[大日本帝国憲法]]発布。
*[[1989年]] - （日本）[[昭和天皇]]崩御。新元号『[[平成]]』公布。
*1989年 - （[[ドイツ]]）[[ベルリンの壁崩壊]]。
*1989年 - （[[ルーマニア]]）[[ニコラエ・チャウシェスク]]処刑。
*1989年 - （[[中華人民共和国|中国]]）[[北京市]]で[[六四天安門事件|天安門事件]]が起きる。

== 関連項目 ==
{{数字2桁|8|}}
*[[8月9日]]
{{自然数}}