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{{出典の明記| date = 2021年3月}}
'''BEAF''' (Bowers Exploding Array Function) とは、Jonathan Bowersによって考案された、[[巨大数]]を表すための表記法の一つである<ref>{{Cite book |和書 |author=フィッシュ |year=2017 |title=巨大数論 第2版 |publisher=インプレス R&D |location=東京 | url=http://gyafun.jp/ln/ |isbn=9784802093194}}</ref>。[[クヌースの矢印表記]]を拡張して[[配列表記]]を作り、更にその配列表記を拡張して作られている。

{{いつ範囲|現代|date=2021年3月}}の巨大数界のかなりの範囲をカバーできる巨大数表記法であることが想定されている。ただし[[2021年]]現在、BEAFの定義が数学的に意味を持つように定式化されているのは[[テトレーション配列]]のレベルまでであり、テトレーション配列を超えるレベルを表すことが想定されている記号や表記法も考案されているが、これは定義が未完成である。

== 定義<ref name="googology">{{Cite web|和書|title=BEAF |url=https://googology.fandom.com/ja/wiki/BEAF |website=巨大数研究 Wiki |access-date=2023-04-19 |language=ja}}</ref> ==

* '''「基数'''」 (''b'') は、配列の1番目の要素である。
* 「'''プライム'''」 (''p'') は、配列の2番目の要素である。
* 「'''パイロット'''」は、プライムの次の最初の1ではない要素である。パイロットは3番目以降の要素となる。
* 「'''副操縦士'''」は、パイロットの1つ前の要素である。パイロットが行の中で1番目の要素であれば、副操縦士は存在しない。
* 「'''構造'''」は配列の一部で、配列よりも低次元なグループによって構成されるものである。構造は、'''要素''' (X^0 と書く)、'''行''' ( X^1と書く)、'''平面''' (X^2)、3次元の'''領域''' (X^3)、4次元の'''フルーン''' (X^4)、さらに高次元の構造 (X^5, X^6 等)、そして  のようなテトレーション構造、といった可能性がある。さらに、そこから先はペンテーション構造、ヘキセーション構造, ..., 膨張構造, ... と続く。
* 「前の要素」は、パイロットと同じ行にあり、パイロットよりも前にある要素である。「前の行」は、パイロットと同じ平面にあり、パイロットよりも前にある行である。「前の平面」は、パイロットと同じ領域にあり、パイロットよりも前にある平面である。同様に、定義を続けることができる。これらは「'''前の構造'''」と呼ばれる。
* 構造  Sの「'''プライムブロック'''」は、構造を表記する記号の Xをすべて p に置き換えたものである。例えば、もしS=X^3であれば、プライムブロックはp^3 、すなわち一辺の長さが p の立方体となる。 X^X構造のプライムブロックはp^p 、すなわち一辺が  pの p次元超立方体となる。
* 「'''飛行機'''」は、パイロットと、すべての前の要素と、すべての前の構造のプライムブロックを含んだものである。
* 「'''乗客'''」は、飛行機の中のパイロットと副操縦士以外の要素である。
* 配列 ''A'' の値は  u(A)と表記する。

== ルール{{R|"googology"}} ==

# ''プライムルール'': もし p=1 であれば、u(A)=b  とする。
# ''初期ルール'': もしパイロットがなければ、u(A)=b^p  とする。
# ''破滅ルール'': 1 も 2 もあてはまらない場合には、次のようにする。
## パイロットの値を 1 減らす。
## 副操縦士の値を元の配列のプライムを1減らしたものに置き換える。
## すべての乗客を b にする。
## 配列のそれ以外の要素は変化しない。

== 解説 ==

=== ハイパー演算子 ===
まず、BEAFの元になった、ハイパー演算子について記す。詳細は[[ハイパー演算子]]を参照。

==== 指数表記 ====
[[乗算]]は、[[加算]]の反復によって定義できる。
:<math>a\times b=\underbrace{a+a+\dots+a}_{b\text{　個　の　}  a } </math>
同様に、[[冪乗]]は、乗算の反復によって定義できる。
:<math>a ^ b=\underbrace{a\times a\times\dots\times a} _ {b\text{　個　の　}  a } </math>

==== 拡張 ====
クヌースは、<math>\uparrow\uparrow</math>を、冪乗の繰り返しを表す演算子として再帰的に定義した。
:<math>a\uparrow\uparrow b=a\uparrow(a\uparrow\uparrow(b-1))=\underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_ {b\text{ 個　の　}  a }
= \underbrace{a^{a^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^a}}}}}}_ {b\text{ 個　の }  a } </math>
ここで、<math>a\uparrow\uparrow 0=1</math>である。これを、'''テトレーション'''、またはその見た目から'''タワー'''（power tower<ref>{{Cite web|url=https://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html|title=Power Tower|accessdate=2021-03-28|author=Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W|website=Wolfram MathWorld}}</ref>）とも呼ぶ。同様に、<math>\uparrow\uparrow\uparrow</math>も次のように定義できる。
:<math>a\uparrow\uparrow\uparrow b= a\uparrow\uparrow(a\uparrow\uparrow\uparrow(b-1))=\underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a}_ {b\text{ 個　の　}  a }</math>

ここで、<math>a\uparrow\uparrow\uparrow0=1</math>である。さらに、n本の上向き矢印に対して再帰的に定義すると、次のようになる。
:<math>
  a\uparrow^nb=
   \begin{cases}
    1, &\mbox{if }b=0\\
    a^b, &\mbox{if }n=1\\
    a\uparrow^{n-1}\left(a\uparrow^n\left(b-1\right)\right), &\mbox{otherwise}
   \end{cases}
 </math>
ここで、''a'', ''b'', ''n'' は整数であり、''a''&nbsp;&ge;&nbsp;1,　''b''&nbsp;&ge;&nbsp;0,　''n''&nbsp;&ge;&nbsp;1である。また、<math>\uparrow^n</math> は <math>\uparrow</math> をn本並べたものを表す。

==== 計算例 ====
<math>
2\uparrow^2 2=2\uparrow2=4</math>

<math>2\uparrow^2 3=2\uparrow2\uparrow2=2\uparrow4=16</math>

<math>2\uparrow^2 4=2\uparrow2\uparrow2\uparrow2=2\uparrow16=65536</math>

<math>3\uparrow^2 2=3\uparrow3=27</math>

<math>3\uparrow^2 3=3\uparrow3\uparrow3=3\uparrow27=7625597484987</math>

<math>3\uparrow^2 4=3\uparrow3\uparrow3\uparrow3=3\uparrow7625597484987\approx10^{10^{12.88}}
</math>

<math>3\uparrow^3 2=3\uparrow^2 3=7625597484987</math>

<math>3\uparrow^3 3=3\uparrow^2 3\uparrow^2 3= \underbrace{3 \uparrow3\uparrow \cdots \uparrow3}_ {7625597484987\text{ 個　の }3 }= \underbrace{3^{3^{{}^{.\,^{.\,^{.\,^3}}}}}}_ {7625597484987\text{ 個　の }  3 } </math>

このように、矢印の本数を増やすと、値が爆発的に増加することがわかる。これにより、非常に大きな[[自然数]]を表現する事が可能である。

==== 注意点 ====
<math>a\uparrow^n b=a\uparrow^{n-1} \left(a\uparrow^n \left(b-1\right)\right) </math>

からもわかるように、複数の演算子が並んでいるときは、'''右から'''順に計算していく。すなわち、

<math>3 \uparrow \left( 2 \uparrow 3\right) = 3 \uparrow 8 =3^{8}=6561</math>

であって、

<math>\left(3 \uparrow 2\right) \uparrow 3 =9 \uparrow 3=9^3=729</math>

ではない。

=== 括弧を使った演算子表記 ===
Jonathan Bowersは、まず矢印表記を一般化した、括弧を使った[[演算 (数学)|演算子]]表記を開発した。

<math>a\uparrow^n b=a\{n\}b</math>


例えば、<math>3\{6\}4=3\uparrow^6 4</math>である。この表記法は、単に矢印表記を書き換えたに過ぎないが、Bowersは{}を1重から2重に増やすことで、拡張した。

<math>a\{\{1\}\}b=\underbrace{ a\{a\{\cdots\{a\{ a }_{b\text{ 個　の }a}\}a\}\cdots\}a\}a=\left.\begin{matrix}
a\underbrace{\uparrow\cdots\cdots\uparrow}_{a\underbrace{\uparrow\cdots\cdots\uparrow}_{\underbrace{\vdots}_{a\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{a\text{本}} a\text{本}}} a\text{本}} a
\end{matrix}\right\}b \text{層} </math>

Bowersはこれを、aのb重膨張と呼んだ。

<nowiki>{{}}の中を増やしていくと、次のようになる。</nowiki>

<math>a\{\{2\}\}b=\underbrace{ a\{\{1\}\}a\{\{1\}\}\cdots\{\{1\}\}a\{\{1\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

<math>a\{\{3\}\}b=\underbrace{ a\{\{2\}\}a\{\{2\}\}\cdots\{\{2\}\}a\{\{2\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

<math>a\{\{n\}\}b=\underbrace{ a\{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}\cdots\{\{n-1\}\}a\{\{n-1\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

{}を二重から三重にすると、aのb重爆発となる。

<math>a\{\{\{1\}\}\}b=\underbrace{ a\{\{a\{\{\cdots\{\{a\{\{a }_{b\text{ 個　の }a}\}\}a\}\}\cdots\}\}a\}\}a </math>

<math>a\{\{\{2\}\}\}b=\underbrace{ a\{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}\cdots\{\{\{1\}\}\}a\{\{\{1\}\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

<math>a\{\{\{3\}\}\}b=\underbrace{ a\{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}\cdots\{\{\{2\}\}\}a\{\{\{2\}\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

<math>a\{\{\{n\}\}\}b=\underbrace{ a\{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}\cdots\{\{\{n-1\}\}\}a\{\{\{n-1\}\}\}a }_{b\text{ 個　の }a} </math>

{}を四重にすると爆轟、五重にするとペントネーションと続く。また、

<math>a\underbrace{ \{\{\{\cdots\{\{ }_{d\text{ 重}}c\}\}\cdots\}\}\}b=a\{c\}^d b</math>

と書いて圧縮することができる。すなわち、

<math>a\{c\}^d b=\begin{cases} 4 & (\text{if}.a=b=2) \\a\uparrow^c b & (\text{if}.d=1) \\ a & (\text{if}.b=1) \\ a\{a\{c\}^d (b-1)\}^{d-1} a & (\text{if}.c=1)\\a\{c-1\}^d a\{c\}^d(b-1) & (\text{others})  \end{cases}</math>

である。

=== 配列表記 ===
{{Main|配列表記}}
<math>a\{c\}^d b=\{a,b,c,d\}</math>

と書き換えることが可能である。この表記を多変数へ一般化したものは[[配列表記]]と呼ばれ、クヌースの矢印表記や[[コンウェイのチェーン表記]]や[[コンウェイのチェーン表記#ピーター・ハーフォードによる拡張|拡張チェーン表記]]や[[回転矢印表記]]よりも強力な表記である。

配列表記は以下のように定義される。

<math>\begin{array}{lcl}
\{{a,b}\}=a^b \\
\{{A,1}\}=\{{A}\} \\
\{{a,1,A}\}=a\\
\{{a,b+1,\underbrace{1\cdots,1}_{n},1,c+1,A}\}=\{{a,a,\underbrace{a\cdots,a}_{n},\{{a,b,\underbrace{1\cdots,1}_{n},c,A}\},c,A}\} \\
\{{a,b+1,c+1,A}\}=\{{a,\{a,b,c+1,A\},c,A}\}
\end{array}</math><ref>{{Cite web|和書|title=配列表記|url=https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E9%85%8D%E5%88%97%E8%A1%A8%E8%A8%98|website=巨大数研究 Wiki|accessdate=2021-06-15|language=ja}}</ref>

配列表記は、[[急成長階層]]で<math>f_{\omega^\omega}
</math>に近似され、[[アッカーマン関数#多変数アッカーマン関数|多変数アッカーマン関数]]と同じくらいの強さである。

=== 拡張配列表記 ===
Bowersは配列表記をさらに多次元へ一般化し、拡張配列表記を作った。<ref>{{Cite web|和書|title=拡張配列表記|url=https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E6%8B%A1%E5%BC%B5%E9%85%8D%E5%88%97%E8%A1%A8%E8%A8%98|website=巨大数研究 Wiki|accessdate=2021-06-15|language=ja}}</ref>

== 出典 ==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[巨大数]]
*[[クヌースの矢印表記]]
*[[コンウェイのチェーン表記]]
*[[配列表記]]
*[[バードの配列表記]] - BEAFと同じく、配列表記の拡張による巨大数表記法である。
*[[急成長階層]]

{{巨大数}}

[[Category:巨大数]]
[[Category:数学に関する記事]]