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'''BFモデル'''(BF model)は、位相的場の理論であり、[[量子化 (物理学)|量子化]]したとき、[[位相的場の理論|位相的量子場の理論]]となる。BFモデルは'''背景場'''(background field)を基礎としている。B と F は、以下でみるように、理論の[[ラグランジアン (場の理論)|ラグランジアン]]に現れる変数でもあり、記号的な使い方も有用である。
 
M は 4-次元[[微分可能多様体]]、G は[[ゲージ群]]であり「力学的」場である [[微分形式|2-形式]] '''B''' として G の[[随伴表現|リー群の随伴表現]]に値を持ち、'''A''' は G の[[接続形式]]である。
<!--The '''BF model''' is a topological field theory, which when [[quantization (physics)|quantized]], becomes a [[topological quantum field theory]]. BF stands for '''background field'''. B and F, as can be seen below, are also the variables appearing in the [[Lagrangian]] of the theory, which is helpful as a mnemonic device.
 
We have a 4-dimensional [[differentiable manifold]] M, a [[gauge group]] G, which has as "dynamical" fields a [[two-form]] '''B''' taking values in the [[Adjoint representation of a Lie group|adjoint representation]] of G, and a [[connection form]] '''A''' for G.-->

[[作用 (物理学)|作用]]は、
:<math>S=\int_M K[\mathbf{B}\wedge \mathbf{F}]</math>
により与えられる。ここに ''K'' は <math>\mathfrak{g}</math> 上の不変[[非退化]][[双線型形式]]（''G'' が[[半単純リー代数|半単純]]であれば[[キリング形式]]はこれを満たす）であり、'''F'''は[[曲率形式]]
:<math>\mathbf{F}\equiv d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge \mathbf{A}</math>
である。

この作用は、[[微分同相]]不変であり、[[ゲージ理論|ゲージ]]不変である。作用の[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]は、
:<math>\mathbf{F}=0</math> (曲率が 0 )
と
:<math>d_\mathbf{A}B=0</math> (B の{{仮リンク|共変外微分|en|covariant exterior derivative}}(covariant exterior derivative)が 0 )
である。

実際、任意の局所自由度をゲージ化することは常に可能であり、このことが位相的場の理論と呼ばれる理由である。

しかしながら、M が位相的に非自明であれば、'''A''' と '''B''' が大域的に非自明な解を持つことも可能である。
<!--The [[action (physics)|action]] is given by

:<math>S=\int_M K[\mathbf{B}\wedge \mathbf{F}]</math>

where K is an invariant [[nondegenerate]] [[bilinear form]] over <math>\mathfrak{g}</math> (if G is [[semisimple]], the [[Killing form]] will do) and '''F''' is the [[curvature form]]

:<math>\mathbf{F}\equiv d\mathbf{A}+\mathbf{A}\wedge \mathbf{A}</math>

This action is [[diffeomorphism|diffeomorphically]] invariant and [[gauge invariance|gauge invariant]]. Its [[Euler–Lagrange equation]]s are

:<math>\mathbf{F}=0</math> (no curvature)

and

:<math>d_\mathbf{A}B=0</math> (the [[covariant exterior derivative]] of B is zero).

In fact, it is always possible to gauge away any local degrees of freedom, which is why it is called a topological field theory.

However, if M is topologically nontrivial, '''A''' and '''B''' can have nontrivial solutions globally.-->

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|スピンフォアム|en|Spin foam}}(Spin foam)
* {{仮リンク|背景場の方法|en|Background field method}}(Background field method)

==外部リンク==
* https://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2000/qg2.2.html

{{デフォルトソート:ひいえふもてる}}
[[Category:場の量子論]]