BHHH法のソースを表示

'''ベルント・ホール・ホール・ハウスマン法'''（ベルント・ホール・ホール・ハウスマンほう、{{Lang-en-short|Berndt–Hall–Hall–Hausman algorithm}}、略称：'''BHHH法'''）とは、[[数理最適化]]において負の[[ヘッセ行列]]を[[勾配]]の[[外積]]に置き換えた[[最適化におけるニュートン法|ニュートン・ラフソン法]]に類似した[[アルゴリズム]]である。この近似は[[フィッシャー情報量|情報行列]]等式に基づいており、[[尤度関数]]が最大化されるように割り当てられる<ref>{{cite journal |first=A. |last=Henningsen |first2=O. |last2=Toomet |title=maxLik: A package for maximum likelihood estimation in R |journal=Computational Statistics |year=2011 |volume=26 |issue=3 |pages=443–458 [p. 450] |doi=10.1007/s00180-010-0217-1 }}</ref>。BHHH法はアーンスト・ベルント、{{仮リンク|ブロンウィン・ホール|en|Bronwyn Hall}}、{{仮リンク|ロバート・ホール (経済学者)|en|Robert Hall (economist)|label=ロバート・ホール}}、[[ジェリー・A・ハウスマン]]に因んで名づけられた<ref>{{cite journal |last=Berndt |first=E. |first2=B. |last2=Hall |first3=R. |last3=Hall |first4=J. |last4=Hausman |year=1974 |url=https://www.nber.org/chapters/c10206.pdf |title=Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models |journal=Annals of Economic and Social Measurement |volume=3 |issue=4 |pages=653–665 }}</ref>。

== 使用例 ==
[[データ]]を[[非線形システム論|非線形]]モデルによってあてはめるときの[[係数]]を推定するために[[最適化問題|最適化]]を行う。最適化に用いられるアルゴリズムでは以下のような構造を持つことが多い。最適化を行う関数を ''Q''(''β'') とすると、各反復によって求まる点 <math>\beta_{k}</math> は:
:<math>\beta_{k+1}=\beta_{k}-\lambda_{k}A_{k}\frac{\partial Q}{\partial \beta}(\beta_{k}),</math>
によって求まる。

ただし、<math>\beta_{k}</math> は ''k'' 番目に求まった点であり、<math>\lambda_{k}</math> はステップサイズを表すパラメータでアルゴリズムによってステップサイズの決定方法が異なる。BHHH法では <math>\lambda_{k}</math> を点 <math>\beta_{k+1}</math> がある基準を満たすまで直線探索によって求める。また、<math>Q</math> は以下のように表される:

:<math>Q = \sum_{i=1}^{N} Q_i</math>
そして、<math>A_{k}</math> は以下の式で求まる:
:<math>A_{k}=\left[\sum_{i=1}^{N}\frac{\partial \ln Q_i}{\partial \beta}(\beta_{k})\frac{\partial \ln Q_i}{\partial \beta}(\beta_{k})'\right]^{-1} .</math>
[[ニュートン・ラフソン法]]のような他の反復法は <math>A_{k}</math> が異なった式で表されている。BHHH法は特殊な条件下では反復を繰り返すことによって収束することが保証されている点が利点となる{{citation needed|date=2013-03}}。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*V. Martin, S. Hurn, and D. Harris, ''Econometric Modelling with Time Series'', Chapter 3 'Numerical Estimation Methods'. Cambridge University Press, 2015.
*{{cite book |last=Amemiya |first=Takeshi |author-link=雨宮健 |title=Advanced Econometrics |location=Cambridge |publisher=Harvard University Press |year=1985 |isbn=0-674-00560-0 |pages=[https://archive.org/details/advancedeconomet00amem/page/137 137–138] |url-access=registration |url=https://archive.org/details/advancedeconomet00amem/page/137 }}
*{{cite book |last=Gill |first=P. |first2=W. |last2=Murray |first3=M. |last3=Wright |year=1981 |title=Practical Optimization |publisher=Harcourt Brace |location=London }}
*{{cite book |first=Christian |last=Gourieroux |first2=Alain |last2=Monfort |title=Statistics and Econometric Models |chapter=Gradient Methods and ML Estimation |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1995 |isbn=0-521-40551-3 |pages=452–458 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=gqI-pAP2JZ8C&pg=PA452 }}
*{{cite book |last=Harvey |first=A. C. |title=The Econometric Analysis of Time Series |location=Cambridge |publisher=MIT Press |year=1990 |edition=Second |isbn=0-262-08189-X |pages=137–138 }}

== 関連項目 ==
*[[DFP法]]
*[[BFGS法]]

{{最適化アルゴリズム}}

[[Category:最適化アルゴリズムとメソッド]]
[[Category:数学に関する記事]]