BerengerのPML吸収境界条件のソースを表示

'''BerengerのPML'''('''Perfectly matched layer''')吸収境界条件は[[波動方程式]]における人工的な吸収層であり、開境界をシミュレーションするとき計算領域を削減する[[数値計算]]手法として、特に[[FDTD法]]と[[有限要素法]]で使われている。<ref name=Taflove05>{{cite book | author=[[Allen Taflove]] and Susan C. Hagness | title=Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, 3rd ed. | publisher=Artech House Publishers | year=2005 | isbn=1-58053-832-0 }}</ref><ref>S. G. Johnson, [http://math.mit.edu/~stevenj/18.369/pml.pdf Notes on Perfectly Matched Layers], online MIT course notes (Aug. 2007).</ref>
PMLと通常の吸収体を区別する特徴はPMLへ入射する波を境界面で反射しない設計である。この特徴によりPMLが外向きの強い波を吸収するため計算領域内で外側の境界面からの反射波が無い計算ができる。

PMLは当初は1994年にBerengerにより[[マックスウェル方程式]]で使用するために定式化された。<ref>{{cite journal | author= J. Berenger | title= A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves | journal= Journal of Computational Physics | year= 1994 | volume= 114 | pages= 185&ndash;200 | doi= 10.1006/jcph.1994.1159 | issue= 2 | bibcode=1994JCoPh.114..185B}}</ref>その後、マクスウェル方程式だけでなく他の波動方程式、例えば弾性力学<ref>{{cite journal |first1=Arash |last1=Fathi |first2=Babak |last2=Poursartip |first3=Loukas |last3=Kallivokas |title=Time‐domain hybrid formulations for wave simulations in three‐dimensional PML‐truncated heterogeneous media |journal=International Journal for Numerical Methods in Engineering |year=2015 |volume=101 |pages=165–198 |doi=10.1002/nme.4780}}</ref>、線形化したオイラー方程式、[[ヘルムホルツ方程式]]、多孔質弾性力学に関連した定式化が行われている。
Berengerによる定式化は'''split-field PML'''と呼ばれており、それはPML領域で電磁場が２つの非物理的な場に分けられるためである。
後の定式化がより一般的となったがそれは単純かつ効率がよいためでその定式化は'''uniaxial PML'''または'''UPML'''<ref>{{cite journal | author= S.D. Gedney | title= An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD latices| journal= Antennas and Propagation, IEEE Transactions on | year= 1996 | volume= 44 | pages= 1630&ndash;1639 | doi= 10.1109/8.546249 | issue= 12 | bibcode=1996ITAP...44.1630G}}</ref>と呼ばれている。これはPMLが人工異方性吸収材とみなされる。

Berengerの定式化とUPMLは一様な媒質からの入射平面波がPML境界で反射しない条件を手動で構成することにより最初は導出された。どちらの形式もより洗練された一般的な手法の'''stretched-coordinate PML'''と同等であることが後に示された。<ref>{{cite journal | author= W. C. Chew and W. H. Weedon | title= A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates| journal= Microwave Optical Tech. Letters | year= 1994 | volume= 7 | pages= 599&ndash;604 | doi= 10.1002/mop.4650071304 | issue= 13 }}</ref><ref>{{cite journal | author= F. L. Teixeira W. C. Chew | title= General closed-form PML constitutive tensors to match arbitrary bianisotropic and dispersive linear media| journal= IEEE Microwave and Guided Wave Letters | year= 1998 | volume= 8 | pages= 223&ndash;225 | doi= 10.1109/75.678571 | issue= 6 }}</ref>

特に、PMLは1つ（またはそれ以上）の座標が[[複素数]]に写される座標変換と対応することが示された。より専門的に言えば、これは実際には波動方程式の複素座標への解析接続であり、伝播する（振動する）波を指数関数的に減衰する波に置き換える。
この見方はPMLが導波管などの不均一媒質、他の座標系の波動方程式でも導出可能であることを示している。<ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=Limiting absorption principle and perfectly matched layer method for Dirichlet Laplacian in quasi-cylindrical domains| journal=SIAM J. Math. Anal. | year= 2012 | volume= 44 | pages= 355&ndash;382 | doi= 10.1137/110834287  }}</ref><ref>{{cite journal | author= V. Kalvin | title=Analysis of perfectly matched layer operators for acoustic scattering on manifolds with quasicylindrical ends| journal= J. Math. Pures Appl. | year= 2013 | volume=100  | pages= 204&ndash;219 | doi= 10.1016/j.matpur.2012.12.001}}</ref>

==詳細な説明==

つまり、''x''方向へ伝搬する波を吸収するために設計されたPMLは、波動方程式に次の変換をする。
波動方程式に現れるすべてのx方向の微分<math>\partial/\partial x</math>は次のように置き換える。
:<math>\frac{\partial}{\partial x} \to \frac{1}{1 + \frac{i\sigma(x)}{\omega}} \frac{\partial}{\partial x}</math>
ここで <math>\omega</math>は[[角振動数]]、<math>\sigma</math>は''x''の関数である。どこであれ<math>\sigma</math>が正であるならば伝搬波は減衰する。
:<math>e^{i(kx - \omega t)} \to e^{i(kx - \omega t) -  \frac{k}{\omega} \int^x \sigma(x') dx'} ,</math>

ここで +''x''方向(<math>k > 0</math>)の平面波とし、次の座標変換(解析接続)を行う。
<math>x \to x + \frac{i}{\omega} \int^x \sigma(x') dx'</math>、またはそれと等価な変換<math>dx \to dx (1 + i\sigma/\omega)</math>を行う。 

座標変換で波の減衰は<math>e^{ikx}</math>となりxと伝搬係数''k''に依存する。これはある角度を持つ平面波と横波の場合についても含まれている。

上の座標変換は、変換された波動方程式となり、UPMLの定式化ではこの変換は物質の物理量と組み合わせられる。 (たとえばマクスウェル方程式の[[誘電率]]と[[透磁率]])。

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  .  However, this frequency-dependence means that a [[time domain]] implementation of PML, e.g. in the [[FDTD]] method, is more complicated than for a frequency-independent absorber, and involves the [[auxiliary differential equation]] (ADE) approach (equivalently, ''i''/&omega; appears as an [[integral]] or [[convolution]] in time domain).
--> 

PMLは本来の定式化では、伝搬波の減衰だけで、純粋なバネセント波（指数関数的に減衰する場）はPMLでは振動しほとんど減衰しない。

しかし、エバネセント波はPMLの実数空間の座標を伸ばすことで早く減衰させることができる。

==PMLの限界==
PMLは電磁気学における数値計算の吸収境界条件として広く用いられている。<ref name=Taflove05/>
ほとんどの場合に上手くいくが、いくつかの重要な場合には破綻し、回避ができない反射波や指数関数的な波の成長に悩まされる。
<!-- 
One caveat with perfectly matched layers is that they are only reflectionless for the ''exact'', continuous wave equation.  Once the wave equation is [[discretization|discretized]] for simulation on a computer, some small numerical reflections appear (which vanish with increasing resolution).  For this reason, the PML absorption coefficient &sigma; is typically turned on gradually from zero (e.g. [[quadratic function|quadratically]]) over a short distance on the scale of the [[wavelength]] of the wave.<ref name=Taflove05/> In general, any absorber, whether PML or not, is reflectionless in the limit where it turns on sufficiently gradually (and the absorbing layer becomes thicker), but in a discretized system the benefit of PML is to reduce the finite-thickness "transition" reflection by many orders of magnitude compared to a simple isotropic absorption coefficient.<ref name=Oskooi08/>

In certain materials, there are "backward-wave" solutions in which [[Group velocity|group]] and [[phase velocity]] are opposite to one another.  This occurs in "left-handed" [[negative index metamaterials]] for electromagnetism and also for acoustic waves in certain solid materials, and in these cases the standard PML formulation is unstable: it leads to exponential growth rather than decay, simply because the sign of ''k'' is flipped in the analysis above.<ref>{{cite journal | author= E. Bécache, S. Fauqueux and P. Joly| title= Stability of perfectly matched layers, group velocities and anisotropic waves| journal= Journal of Computational Physics | year= 2003 | volume= 188 | pages= 399&ndash;433| doi=10.1016/S0021-9991(03)00184-0 | issue= 2}} [http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/07/22/83/PDF/RR-4304.pdf]</ref>  Fortunately, there is a simple solution in a left-handed medium (for which all waves are backwards): merely flip the sign of &sigma;.  A complication, however, is that physical left-handed materials are [[Dispersion (optics)|dispersive]]: they are only left-handed within a certain frequency range, and therefore the &sigma; coefficient must be made frequency-dependent.<ref>Steven A. Cummer, "Perfectly Matched Layer Behavior in Negative Refractive Index Materials," ''IEEE Ant. Wireless Prop. Lett'' '''3''', 172–175 (2004).</ref><ref>X. T. Dong, X. S. Rao, Y. B. Gan, B. Guo, and W.-Y. Yin, "Perfectly matched layer-absorbing boundary condition for left-handed materials," ''IEEE Microwave Wireless Components Lett.'' '''14''', 301-333 (2004).</ref>  Unfortunately, even without exotic materials, one can design certain waveguiding structures (such as a hollow metal tube with a high-index cylinder in its center) that exhibit ''both'' backwards- and forwards-wave solutions at the same frequency, such that any sign choice for &sigma; will lead to exponential growth, and in such cases PML appears to be irrecoverably unstable.<ref>P.-R. Loh, A. F. Oskooi, M. Ibanescu, M. Skorobogatiy, and S. G. Johnson,  "[http://math.mit.edu/~stevenj/papers/LohOs09.pdf Fundamental relation between phase and group velocity, and application to the failure of perfectly matched layers in backward-wave structures]," ''Phys. Rev. E'' '''79''' 065601(R) (2009).</ref>

Another important limitation of PML is that it requires that the medium be invariant in the direction orthogonal to the boundary, in order to support the analytic continuation of the solution to complex coordinates (the complex "coordinate stretching").   As a consequence, the PML approach is no longer valid (no longer reflectionless at infinite resolution) in the case of periodic media (e.g. [[photonic crystal]]s or [[Acoustic metamaterials|phononic crystals]])<ref name=Oskooi08>A. F. Oskooi, L. Zhang, Y. Avniel, and S. G. Johnson, [http://www.opticsinfobase.org/oe/abstract.cfm?uri=oe-16-15-11376 The failure of perfectly matched layers, and towards their redemption by adiabatic absorbers], ''Optics Express'' '''16''', 11376–11392 (2008).</ref> or even simply a waveguide that enters the boundary at an oblique angle.<ref>A. Oskooi and S. G. Johnson, "[http://math.mit.edu/~stevenj/papers/OskooiJo11.pdf Distinguishing correct from incorrect PML proposals and a corrected unsplit PML for anisotropic, dispersive media]," ''Journal of Computational Physics'', vol. 230, pp. 2369–2377 (2011).</ref>

== See also ==
*[http://emlab.utep.edu/ee5390cem.htm Notes and recorded lecture on the perfectly matched layer (see lecture 8)]
*[[Cagniard–de Hoop method]]
--> 

== 参考文献 ==
<references/>

==外部リンク==
*[https://www.youtube.com/watch?v=XcL9iEK0GDY PML吸収境界条件の効果のアニメーション (YouTube)]

{{Normdaten}}
[[Category:偏微分方程式]]
[[Category:計算電磁気学]]