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'''CES型関数'''（しーいーえすがたかんすう、[[英語|英]]: Constant elasticity of substitution function）は、生産要素間あるいは財のバラエティ間の[[代替の弾力性]]が定数である[[生産関数]]や[[効用関数]]のこと<ref>ScienceDirect [https://www.sciencedirect.com/topics/economics-econometrics-and-finance/ces-production-function "CES Production Function."] Elsevier B.V., 2021年12月30日閲覧。 </ref>。英語をそのまま読んで'''コンスタント・イラスティシティ・オブ・サブスティチューション関数'''と呼ばれることもある。

==概要==
この関数形の下では、複数の財のバラエティから効用を得るような効用関数、あるいは複数の生産要素から財を生産する生産関数があるときに、バラエティ間あるいは生産要素間の代替の程度が定数となる。[[ジョン・ヒックス]]、[[ジョーン・ロビンソン]]などがこの概念の確立に貢献した。

==CES型生産関数==
CES型生産関数（英: Constant elasticity of substitution production function）を仮定すると、生産要素間の代替の弾力性が定数になる<ref name=":2">{{Cite journal|last=McFadden|first=Daniel|date=June 1963|title=Constant Elasticity of Substitution Production Functions|url=https://doi.org/10.2307/2295804|journal=The Review of Economic Studies|volume=30|issue=2|pages=73–83|doi=10.2307/2295804|jstor=2295804|issn=0034-6527}}</ref>{{Efn2|[[ダニエル・マクファデン]]は、「CESの仮定は生産可能性についての制約であり、この性質を持つ生産関数のクラスを特徴づけることができる。それは、アロー・チェネリー・ミンハス・ソローの2生産要素の生産のケースで考察された。」と述べている<ref name=":2" />。}}。代替の弾力性は「生産要素の比率の変化」の「生産の限界代替率の変化」に対する比で定義され、CES型生産関数の場合はそれが定数になる。資本と労働を生産要素とするCES型生産関数が[[ロバート・ソロー]]によって導入され<ref name="Solow1956">{{cite journal |last=Solow|first=R.M |year=1956 |title=A contribution to the theory of economic growth |journal=The Quarterly Journal of Economics |volume=70 |issue=1 |pages=65–94 |doi=10.2307/1884513|jstor=1884513 |url=http://rcin.org.pl/Content/39010 |hdl=10338.dmlcz/143862 |hdl-access=free }}</ref>、その後[[ケネス・アロー]]や{{仮リンク|ホリス・チェンリー|en|Hollis B. Chenery}}、{{仮リンク|バジチャ・ミンハス|en|Bagicha Singh Minhas}}らの貢献によってさらに普及した<ref name="Arrow1961">{{cite journal |last=Arrow |first=K. J. |author2=Chenery, H. B. |author3=Minhas, B. S. |author4= Solow, R. M.  |year=1961 |title=Capital-labor substitution and economic efficiency |journal=Review of Economics and Statistics |volume=43 |issue=3 |pages=225–250  |jstor=1927286|doi=10.2307/1927286 }}</ref><ref name="Jorgensen2000">{{cite book |title=Econometrics, vol. 1: Econometric Modelling of Producer Behavior |last=Jorgensen |first=Dale W. |year=2000 |publisher=MIT Press |location=Cambridge, MA |isbn=978-0-262-10082-3 |page=2 }}</ref><ref name="Klump">{{cite journal |last=Klump |first=R |author2=McAdam, P |author3=Willman, A.  |year=2007 |title=Factor Substitution and Factor Augmenting Technical Progress in the US: A Normalized Supply-Side System Approach |journal=Review of Economics and Statistics |volume=89 |issue=1 |pages=183–192|doi=10.1162/rest.89.1.183|hdl=10419/152801 |s2cid=57570638 |hdl-access=free }}</ref><ref>{{cite book|doi=10.1017/9781316335703|title=Economic Growth: A Unified Approach|year=2016|last1=de La Grandville|first1=Olivier|isbn=9781316335703|publisher=Cambridge University Press}}</ref>。

===2生産要素のケース===
CES型生産関数は、例えば以下のように書ける。
:<math>Q =  \left(a_{K} \cdot K^\rho+ a_{L} \cdot L^\rho\right)^{\frac{1}{\rho}} </math>
ただし<math>Q</math>は生産量、<math>a_{K}</math>と<math>a_{L}</math>は要素分配率（ただし<math>a_{K}+a_{L}=1</math>）、<math>K</math>は資本の投入量、<math>L</math>は労働の投入量である。このとき、<math>\rho</math> = <math>(\sigma-1)/\sigma</math>は生産要素間の代替の程度を測るパラメーターで、
:<math>\sigma</math> = <math>{\frac{1}{1-\rho}}</math>
が代替の弾力性となる。レオンチェフ型生産関数、線形生産関数、コブ＝ダグラス型生産関数はすべてCES型生産関数の特別なケースと解釈できる。つまり、 
*<math>\rho</math>が1に近づくと（つまり<math>\sigma</math>がプラス無限大に近づくと）、極限では生産要素が互いに完全代替（perfect substitute）な線形の生産関数となる。
*<math>\rho</math>が0に近づくと（つまり<math>\sigma</math>が1に近づくと）、極限ではコブ＝ダグラス型生産関数となる。
*<math>\rho</math>がマイナス無限大に近づくと（つまり<math>\sigma</math>が0に近づくと）、極限では生産要素が互いに完全補完（perfect complement）なレオンチェフ型生産関数となる。

===複数生産要素のケース===
<math>n</math>個の生産要素の一般的なCES型生産関数は以下のように書ける<ref>Ted Bergstrom (March 3, 2011) [http://www.econ.ucsb.edu/~tedb/Courses/GraduateTheoryUCSB/elasticity%20of%20substitutionrevised.tex.pdf "UCSB Economics 210A"], 2021年12月30日閲覧。</ref>。
:<math> Q =  \left(\sum_{i=1}^n a_{i}X_{i}^{\rho}\ \right)^{\frac{1}{\rho}}</math>
ただし<math>Q</math>は生産量、<math>a_{i}</math>は生産要素<math>i</math>の分配率（ただし<math> \sum_{i=1}^n a_{i} = 1 </math>）、<math>X_i</math>は生産要素<math>i</math>の投入量である。このとき、2生産要素のケースと同様、<math>\rho</math> = <math>(\sigma-1)/\sigma</math>は生産要素間の代替の程度を測るパラメーターで、<math>\sigma = 1/(1-\rho)</math>が代替の弾力性となる。

[[宇沢弘文]]は、生産要素が2つ以上あるとき、定数的代替の弾力性を持つには全ての生産要素のペアの間の代替の弾力性が等しくなければならないこと、生産要素間のペアの間で代替の弾力性が異なることを許容するには、一部の代替の弾力性が同じで、その他の代替の弾力性は1でなければならないことを示した<ref name="Uzawa1962">{{cite journal |last=Uzawa|first=H|year=1962 |title=Production functions with constant elasticities of substitution |journal=Review of Economic Studies|volume=29 |issue=4|pages=291–299 | doi = 10.2307/2296305 |jstor=2296305}}</ref>。

CES型関数が入れ子構造になっている生産関数も部分均衡分析モデルや一般均衡分析モデルで用いられることがある。入れ子構造を導入することで、異なった代替の弾力性を許容することができる。

==CES型効用関数==
消費者理論でもCES型効用関数（英: Constant elasticity of substitution utility function）を仮定することがある。

===複数バラエティのケース===
<math>n</math>個のバラエティが存在するとき、効用関数は以下のように書ける。 
:<math> U = \left(\sum_{i=1}^n x_{i}^{\rho}\ \right)^{\frac{1}{\rho}}.</math>
ただし、<math>U</math>は効用水準、<math>x_i</math>はバラエティ<math>i</math>の消費量、<math>\sigma</math>は代替の弾力性である。生産関数のときと同様、<math>\sigma = 1/(1-\rho)</math>が代替の弾力性となる。
*<math>\sigma</math>が無限大に近づくとバラエティ<math>x_i</math>は互いに完全代替になり、同質財のバラエティであると解釈できる（市場は[[完全競争]]になる）。
*<math>\sigma</math>が1に近づくとバラエティ<math>x_i</math>は互いに補完的になり、差別化財のバラエティであると解釈できる（市場は[[独占的競争]]になる）。
これはCESアグリゲーターとも呼ばれ、[[ポール・アーミントン]]によって最初に議論された<ref>{{cite journal |last=Armington |first=P. S. |year=1969 |title=A theory of demand for products distinguished by place of production |journal=IMF Staff Papers |volume=16 |issue= 1|pages=159–178  |doi=10.2307/3866403|jstor=3866403 }}</ref>。CES効用関数はホモセティックな選好の特別なケースと解釈できる。

===効用最大化問題の解===
2つの財<math>x</math>と<math>y</math>があるとする。
:<math>u(x,y) =(x^\rho + y^\rho)^{1/\rho}</math>
このとき、効用最大化問題を解くと以下のような関数を導くことができる<ref>{{Cite Varian Microeconomic Analysis 3}}</ref>。支出関数は
:<math>e(p_x,p_y,u) =(p_x^{1-\sigma} + p_y^{1-\sigma})^{1/(1-\sigma)} \cdot u</math>
となり、間接効用関数は
:<math>v(p_x,p_y,I) =(p_x^{1-\sigma} + p_y^{1-\sigma})^{1/(1-\sigma)} \cdot I</math>
となり、需要関数は
:<math>x(p_x,p_y,I) = \frac{p_x^{-\sigma}}{p_x^{1-\sigma} + p_y^{1-\sigma}}\cdot I</math>
:<math>y(p_x,p_y,I) = \frac{p_y^{-\sigma}}{p_x^{1-\sigma} + p_y^{1-\sigma}}\cdot I</math>
となる。ただし<math>I</math>は所得水準、<math>p_x</math>は財<math>x</math>の価格、<math>p_y</math>は財<math>y</math>の価格である。

===応用===
[[アビナッシュ・ディキシット]]と[[ジョセフ・E・スティグリッツ]]は、[[独占的競争]]市場において最適な財のダイバーシティを考える際にCES型効用関数を用いている<ref>{{cite journal |last1=Dixit |first1=Avinash |last2=Stiglitz |first2=Joseph |year=1977 |title=Monopolistic Competition and Optimum Product Diversity |journal=[[American Economic Review]] |volume=67 |issue=3 |pages=297–308 |jstor=1831401 }}</ref>。これは{{仮リンク|ディキシット＝スティグリッツ・モデル|en|Dixit-Stiglitz model}}と呼ばれる。

国際貿易の文脈でも、[[ポール・クルーグマン]]がCES型効用関数を用いて多くのバラエティを消費すると効用が上昇する消費者が存在する経済をモデル化し、{{仮リンク|国際貿易における独占的競争|en|Monopolistic competition in international trade}}を考えた<ref name="kruguman1980">Krugman, Paul (1980) [https://www.jstor.org/stable/1805774 "Scale economies, product differentiation, and the pattern of trade."] ''American Economic Review,'' 70(5): 950-959.</ref>。そして、消費者の選好と企業レベルの規模の経済から国際貿易を説明する[[新貿易理論]]を提示した<ref name="kruguman1980" />。

CES型効用関数と{{仮リンク|等弾力的効用関数|en|isoelastic utility}}の違いは、CES型効用関数は{{仮リンク|序数的効用|en|ordinal utility}}で、等弾力的効用関数は{{仮リンク|基数的効用|en|cardinal utility}}であるということである。CES間接双対効用関数（英: The CES indirect dual utility function）を用いると、バラエティの各カテゴリーへの需要構造が内生的に決まる選好を表現することができる<ref>{{cite journal | last1 = Baltas | first1 = George | year = 2001 | title = Utility-Consistent Brand Demand Systems with Endogenous Category Consumption: Principles and Marketing Applications | journal = Decision Sciences | volume = 32 | issue = 3| pages = 399–421 | doi=10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x}}</ref>。

==脚注==
===注釈===
{{Notelist2}}

===出典===
{{Reflist|2}}
{{ミクロ経済学}}
{{国際貿易論}}
{{経済成長論}}
{{Normdaten}}
[[Category:経済学]]
[[Category:経済理論]]
{{DEFAULTSORT:しいえすかんすう}}