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{{出典の明記|date=2012年8月}}
'''CFL条件'''（シーエフエルじょうけん、{{en|Courant-Friedrichs-Lewy Condition}}）または'''クーラン条件'''とは、[[数値解析]]によるコンピュータ[[シミュレーション]]において、「情報が伝播する速さ」は「実際の現象で波や物理量が伝播する速さ」よりも速くなければならないという必要条件のことである。1928年に、[[リヒャルト・クーラント]]、{{仮リンク|カート・フリードリヒ|en|Kurt Otto Friedrichs}}、[[ハンス・レヴィー]]によって提唱された<ref>{{cite|和書 |title=流体力学の数値計算法 |author=藤井孝藏 |publisher=東京大学出版会 |year=1994 |isbn=4-13-062802-X |page=16}}</ref>。

== 概要 ==
例えば、[[メッシュ法|離散格子系]]において[[波動]]を扱う場合に、その[[運動方程式]]の数値解を求める際に用いる時間ステップ&Delta;''t'' の値は、実際の波動が隣り合う格子に伝達するまでの時間よりも小さくなければならない。もし&Delta;''t'' の値がその時間の上限を超えると、計算上の情報伝達速度が実現象の速さに追従できずに数値[[極限|発散]]が生じてしまい、物理的に意味の無い解を得てしまう。意味のある計算をするためには空間格子の間隔&Delta;''x'' を小さくするなら、時間ステップ&Delta;''t'' の上限値もそれに伴って減らさなければならない。

CFL条件は[[陽解法]]の時間進展を行う際に用いられる条件であり、この条件を回避するためには[[陰解法]]がしばしば用いられる。陰解法を用いることでCFL条件の回避や緩和ができる理由としては様々な説明が存在するが、最も簡潔に説明すると、陽解法は1ステップ前の自分の周りのごくわずかな[[格子点]]のみから情報を得て次の時間の値を決めるのに対して、陰解法は1ステップ前の(ほぼ)全ての格子点の情報を処理して次の時間の値が決まるため、CFL条件における&Delta;''x'' が実質的に巨大になるためである。

== 数式による説明 ==
実際の現象を速さ（特性速度）の大きさが ''C'' の波動であるとする。この現象は次の[[移流]]方程式で記述される：
: <math>\frac{\partial u}{\partial t}+C\frac{\partial u}{\partial x}=0</math>
この方程式を時間ステップ幅&Delta;''t'' 、格子幅&Delta;''x'' として、時間微分に1次精度陽解法、空間微分に1次精度[[風上差分]]を用いて[[差分法|離散化]]すると、
: <math>\frac{u^{n+1}_i-u^n_i}{\Delta t}+C\frac{u^n_i-u^n_{i-1}}{\Delta x}=0</math>
すなわち
: <math>u^{n+1}_i=u^n_i-\frac{C\Delta t}{\Delta x}(u^n_i-u^n_{i-1})</math>
となる。このとき、情報が伝播する速さは&Delta;''x'' /&Delta;''t''、実際の波の速さの大きさは''C''であるから
: <math>\frac{\Delta x}{\Delta t}>C</math>
がCFL条件となる。この式を[[無次元数]]である'''クーラン数''' ''C'' &Delta;''t'' /&Delta;''x'' を使って、「クーラン数は1より小さくなければならない」と表現することもある。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

* Carlos A. de Moura and Carlos S. Kubrusly (Eds.): "The Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) Condition: 80 Years After Its Discovery", Birkhauser, ISBN 978-0-8176-8393-1 (2013).

== 関連項目 ==
* [[拡散数]]

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{{DEFAULTSORT:CFLしようけん}}
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[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数値流体力学]]
[[Category:物理学のエポニム]]