CMアーベル多様体のソースを表示

{{要改訳|date=2015-10-08}}
[[数学]]において体 ''K'' 上定義された[[アーベル多様体]] ''A'' が'''CM-タイプ'''(CM-type)であるとは、[[自己準同型環]] End(''A'') の中で十分に大きな部分[[可換環]]を持つことをいう。この用語は[[虚数乗法]] (complex multiplication) 論から来ていて、虚数乗法論は19世紀に[[楕円曲線]]の研究のため開発された。20世紀の[[代数的整数論]]と[[代数幾何学]]の主要な成果のひとつに、アーベル多様体の次元 ''d'' > 1 の理論の正しい定式化が発見されたことがある。この問題は、[[多変数複素函数論]]を使うことが非常に困難であるため、非常に抽象的である。

フォーマルな定義は、[[有理数]]体 '''Q''' と End(''A'') の[[テンソル積]]
:<math>\mathrm{End}_\mathbb{Q}(A)</math>
は '''Z''' 上、[[ベクトル空間の次元|次元]] 2''d'' の可換部分環を含んでいることである。''d'' = 1 のとき、このことは[[二次体]]以外にはありえなく、End(''A'') は虚二次体の{{仮リンク|整環|en|order (ring theory)}}(order)である。''d'' > 1 に対しては、[[総実体]]の虚[[クンマー理論|二次拡大]]である[[CM体]]の場合が比較すべきに対象である。''A'' が[[アーベル多様体|単純アーベル多様体]]ではないかもしれない（例えば、楕円曲線の[[直積集合|カルテシアン積]]）ことを反映する他の他の場合もある。CM-タイプのアーベル多様体の別の名称は、'''十分に多くの虚数乗法を持つ'''アーベル多様体である。
<!---{{Unreferenced|date=December 2009}}
In [[mathematics]], an [[abelian variety]] ''A'' defined over a [[field (mathematics)|field]] ''K'' is said to have '''CM-type''' if it has a large enough [[commutative ring|commutative]] [[subring]] in its [[endomorphism ring]] ''End''(''A''). The terminology here is from [[complex multiplication]] theory, which was developed for [[elliptic curve]]s in the nineteenth century. One of the major achievements in [[algebraic number theory]] and [[algebraic geometry]] of the twentieth century was to find the correct formulations of the corresponding theory for abelian varieties of [[dimension of an algebraic variety|dimension]] ''d'' > 1. The problem is at a deeper level of abstraction, because it is much harder to manipulate [[analytic function]]s of [[several complex variable]]s.

The formal definition is that 

:<math>End_\mathbb{Q}(A) \,</math>

the [[tensor product]] of ''End''(''A'') with the [[rational number]] field '''Q''', should contain a commutative subring of [[vector space dimension|dimension]] 2''d'' over '''Z'''. When ''d'' = 1 this can only be a [[quadratic field]], and one recovers the cases where ''End''(''A'') is an [[order (ring theory)|order]] in an [[imaginary quadratic field]]. For ''d'' > 1 there are comparable cases for [[CM-field]]s, the complex [[quadratic extension]]s of [[totally real field]]s. There are other cases that reflect that ''A'' may not be a [[simple abelian variety]] (it might be a [[cartesian product]] of elliptic curves, for example). Another name for abelian varieties of CM-type is abelian varieties with '''sufficiently many complex multiplications'''.-->

''K'' が複素数体であれば、任意のCM-タイプの ''A'' は、実は、[[代数体|数体]]である{{仮リンク|定義体|en|field of definition}}(field of definition)を持っている。自己準同型環の可能なタイプは、[[対合]]（{{仮リンク|ロサチの対合|en|Rosati involution}}(Rosati involution)）をもつ環として既に分類されていて、CM-タイプのアーベル多様体の分類を導き出す。楕円曲線と同じような方法でCM-タイプの多様体を構成するには、'''C'''<sup>''d''</sup> の中の[[格子 (数学)|格子]] Λ から始め、アーベル多様体の[[リーマン形式|リーマンの関係式]]を考えに入れる必要がある。

'''CM-タイプ'''(CM-type)は、[[単位元]]における ''A'' の正則[[接空間]]上の、End<sub>'''Q'''</sub>(''A'') の（極大）可換部分環 ''L'' の作用を記述したものである。単純な種類の[[スペクトル理論]]が適用され、''L'' が[[固有ベクトル]]の基底を通して作用することを示すことができる。言い換えると、''L'' は ''A'' の正則ベクトル場の上の[[対角行列]]を通した作用を持っている。''L'' 自体が複数の体の積ではなく数体であるという単純な場合には、CM-タイプは ''L'' の[[複素埋め込み]](complex embedding)のリストである。[[複素共役]]をペアとして、2''d'' 個の複素埋め込みがあり、CM-タイプは各々のペアのから一つを選択する。そのようなCM-タイプの全てが実現されることが知られている。

[[志村五郎]]と[[谷山豊]]の基本的結果は、CM-タイプと[[ヘッケのL-函数]]のことばで、''A'' の[[ハッセ・ヴェイユのL-函数]]を計算することができ、これから導出された[[ヘッケ指標#イデアルを使う定義|無限部分]]を持つ。これらが、楕円曲線の場合の{{仮リンク|マックス・ドイリング|en|Max Deuring}}(Max Deuring)の結果を一般化する。
<!---It is known that if ''K'' is the complex numbers, then any such ''A'' has a [[field of definition]] which is in fact a [[number field]]. The possible types of endomorphism ring have been classified, as rings with [[Involution (mathematics)|involution]] (the [[Rosati involution]]), leading to a classification of CM-type abelian varieties. To construct such varieties in the same style as for elliptic curves, starting with a [[lattice (group)|lattice]] Λ in ''C''<sup>''d''</sup>, one must take into account the [[Riemann relations]] of abelian variety theory.

The '''CM-type''' is a description of the action of a (maximal) commutative subring ''L'' of ''End''<sub>'''Q'''</sub>(''A'') on the holomorphic [[tangent space]] of ''A'' at the [[identity element]]. [[Spectral theory]] of a simple kind applies, to show that ''L'' acts via a basis of [[eigenvector]]s; in other words ''L'' has an action that is via [[diagonal matrices]] on the holomorphic vector fields on ''A''. In the simple case, where ''L'' is itself a number field rather than a product of some number of fields, the CM-type is then a list of [[complex embedding]]s of ''L''. There are 2''d'' of those, occurring in [[complex conjugate]] pairs; the CM-type is a choice of one out of each pair. It is known that all such possible CM-types can be realised.

Basic results of [[Goro Shimura]] and [[Yutaka Taniyama]] compute the [[Hasse-Weil L-function]] of ''A'', in terms of the CM-type and a Hecke L-function with [[Hecke character]], having [[infinity-type]] derived from it. These generalise the results of [[Max Deuring]] for the elliptic curve case.-->

== 参考文献 ==
*{{Citation | last=Lang | first=Serge | title=Complex Multiplication | year=1983 | publisher=Springer Verlag | isbn=0-387-90786-6 }}

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