CW複体のソースを表示

{{Rough translation|英語|date=2020-04-29}}
{{要改訳|date=2020-04-29}}

[[位相幾何学]]において、'''CW複体'''（CWふくたい）とは、[[ホモトピー|ホモトピー理論]]の要請を満たすためにJ. H. C. Whiteheadによって導入された[[位相空間]]の一種である。この空間は、[[複体|単体複体]]よりも広義の概念であり、いくつかの優れた[[圏論|圏論的]]特性を備える一方、特に非常に小さい複体における計算で役立つ連結性を有する。

== 構成 ==
CW複体は胞体 (cell)と呼ばれる基本要素で構成され、より厳密には、胞体がどのようにトポロジー的に張り合わせられるかを規定する。CW複体のCは「閉包有限性」(closure finite)<ref name="homotopy theory">{{Cite web|和書|url=https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/documents/2008tsuchiya.pdf|title=近代ホモトピー論（1940年代から1960年代まで）|accessdate=2020-05-30}}</ref>を表し、Wは「弱い位相」(weak topology)を表す。

<math>n</math> 次元の閉胞体とは、<math>n</math> 次元ユークリッド空間上の閉球体 <math>D^n</math> に同相な空間を指す。一例として、<math>n</math> 次元空間における[[単体 (数学)|単体]] (三次元空間なら四面体)は閉胞体であり、より一般的に言えば、凸超多面体が閉胞体に対応する。一方で、<math>n</math> 次元の開胞体は、 <math>D^n</math> の内部に同相な空間を指す。なお、0次元の開（および閉）胞体は、[[単集合|一点空間]]と定める。

CW複体は、[[ハウスドルフ空間]] <math>X</math> と''、''次の2つの性質を満たす開胞体への[[集合の分割|分割]] <math> \{ e^k_{\alpha} \}</math> を指す。

* 各開胞体 <math> e^n_\alpha </math> に対して、 <math>n</math> 次元の閉球体からの連続写像 <math>f:D^n\to X</math> が存在し、以下の2つの条件を満たす。
** <math>f</math> の定義域を <math>D^n</math> の内部に制限した時、これは <math>e^n_\alpha</math> への同相写像である。
** <math>D^n</math> の[[境界 (位相空間論)|境界]] <math>\partial D^n</math> は、 <math> \{ e^k_{\alpha} \}</math> に含まれる有限個の胞体の合併へと写され、この有限個の胞体の次元がいずれも <math>n</math> 以下である (この条件が閉包有限性に対応する)。
*  <math>X</math> の部分集合 <math>A</math> に対し、<math>X</math> に含まれる任意の胞体の閉包と <math>A</math> との交叉 <math>\bar e^n_\alpha \cap A</math> が <math>\bar e^n_\alpha</math> における閉集合となる場合、かつその場合に限り、 <math>A</math> が閉集合になる (この条件が弱い位相に対応する)。

=== 正則CW複体 ===
とあるn次元の閉球体からCW複体全体への連続写像について、その写像の値域をXの分割に含まれる各開胞体Cの閉包に限定すると、その写像fが同型写像となる場合、このCW複体を正則であるという。

=== 相対CW複体 ===
CW複体の定義ではXの分割に現れるXの部分集合は全て胞体でなければならず、すなわち、各部分集合はとあるn次元空間上の開球体と同相でなければならなかった。これに対して、相対CW複体では、Xの分割に現れる部分集合のうち1つだけは胞体の性質を保つ必要がなく、この胞体の性質を持たない部分集合を特に-1次元の胞体として取り扱う。<ref name="homotopy theory"></ref><ref>{{Cite book|last=Davis|first=James F.|author-link=|last2=Kirk|first2=Paul|author2-link=|date=2001|title=Lecture Notes in Algebraic Topology|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.}}</ref><ref>https://ncatlab.org/nlab/show/CW+complex</ref><ref>https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/CW-complex</ref>

== 例 ==

* 実数の''標準CW構造'' として、0スケルトンの整数<math>\mathbb Z</math> がある。そして1セルとして区間<math>\{ [n,n+1] : n \in \mathbb Z\}</math> がある。同様に、上の標準CW構造<math>\mathbb R^n</math> からの0セルと1セルの積である立方体セル<math>\mathbb R</math> がある。さらに、標準の''立方格子'' セル<math>\mathbb R^n</math> がる。
* [[多面体]] はCW複体。
* グラフは1次元のCW複体。[[立方体グラフ|三価グラフ]]は、''一般的な'' 1次元CW複体と見なすことができる。具体的には、''X'' が1次元のCW複体である場合、1セルの添字写像は2点空間から''X'' への写像<math>f : \{0,1\} \to X</math> 、この写像は''Xを'' 0スケルトンから切り離す。<math>f(0)</math>そして<math>f(1)</math> ''Xの'' 0価は頂点。
* 無限次元[[ヒルベルト空間]] はCW複体でない。これは[[ベール空間]]であるため、''n個の'' スケルトンの可算結合として記述できない。それぞれのスケルトンは空の内部を持つ閉集合。この議論は、他の多くの無限次元空間に及ぶ。
* 一般的な2次元CW複体の射影。<ref>Turaev, V. G. (1994), "Quantum invariants of knots and 3-manifolds", De Gruyter Studies in Mathematics (Berlin: Walter de Gruyter & Co.) 18</ref>
* [[超球面|n次元球]] は、2つのセル（1つの0セルと1つのnセル）を持つCW構造を受け入れる。
* n次元の実[[射影空間]] は、各次元に1つのセルを持つCW構造を許可する。
* グラスマン多様体は、'''シューベルトセル''' と呼ばれるCW構造を認める。
* [[可微分多様体|微分可能多様体]]、代数および射影[[代数多様体|多様体]] には、ホモトピー型のCW複体がある。
* カスプ[[双曲多様体]]の[[アレクサンドロフ拡大|1点コンパクト化]]には、'''Epstein-Penner分解''' と呼ばれる0セル（コンパクト化ポイント）が1つしかない正準CW分解がある。

== 出典 ==
{{Reflist}}

{{Topology}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:CWふくたい}}
[[Category:位相空間]]
[[Category:ホモトピー論]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]